Inžinierske štátnice sa delia na dve časti. Prvá časť sú numerické metódy:

1. Riešenie hyperbolického systému s konštantnými koeficientami

Popíšte riešenie lineárneho hyperbolického systému parciálnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientami v jednorozmernom prípade pomocou charakteristických rýchlostí a premenných. Formulujte predpoklady, kedy je tento postup možný. (LeVeque, str. 31-32)

2. Metóda konečných objemov pre hyperbolické rovnice

Popíšte všeobecný tvar metódy konečných objemov na riešenie skalárnej nelineárnej hyperbolickej rovnice pre jednorozmerný prípad. Použite upwind metódu pre toky cez hranicu kontrolného objemu pre prípad lineárnej rovnice s konštantnými koeficientmi (s.73-74). Načrtnite tvar metódy pre dvojrozmerný prípad.

3 Nelineárny model hustoty premávky a jeho riešenie

Popíšte nelineárnu hyperbolickú rovnicu pre matematický model hustoty premávky. Popíšte vlastnosti riešenia Riemanovej úlohy s prípustným a neprípustným šokom, definujte rýchlosť šoku, nakreslite príslušné charakteristické krivky.

4. Architektúra paralelných počítačov, modely paralelného programovania, charakteristika štandardu MPI (Message Passing Interface)

5. Základy paralelného programovania v prostredí MPI, príkazy hromadnej a jednoduchej (point-to-point) komunikácie

6. Základné princípy metódy okrajových prvkov

Charakterizujte metódu hraničných elementov. Načrtnite základný postup riešenia okrajových úloh pomocou BEM a ilustrujte ju na príklade okrajových úloh pre stacionárne vedenie tepla v homogénnom, izotropnom kontinuu. Porovnajte základné atribúty BEM a FEM.

7. Princípy diskretizácie v metóde okrajových prvkov

Hraničné elementy. Diskretizácia hranice v 2-d a 3-d úlohách. Aproximácia geometrie a fyzikálnych polí interpoláciou. Lineárne 1 a 2 – rozmerné elementy.

8. Diskretizácia nelineárnych difúznych rovníc semi-implicitnou schémou konečných objemov

Odvoďte semi-implicitnú metódu konečných objemov na riešenie regularizovanej Perona-Malikovej rovnice, popíšte SOR algoritmus riešenia lineárneho systému, ukážte stabilitu numerického riešenia

9. Level-set rovnice pre pohyb kriviek a plôch a ich numerické riešenie

Odvoďte úrovňovú (level-set) formuláciu pohybu uzavretej 2D krivky resp. 3D plochy rýchlostným poľom a jej špeciálne prípady, ako je pohyb v smere normály rýchlosťou F(x) a pohyb závislý od strednej krivosti. Pre posledný prípad odvoďte stabilnú semi-implicitnú numerickú schému konečných objemov a popíšte ako sa level-set modely využívajú v segmentácii obrazu

10. Modely lineárnej a nelineárnej difúzie  v spracovaní obrazu

Popíšte základné modely v tvare parciálnych diferenciálnych rovníc používané vo filtrácii a segmentácii obrazu – konvolúcia s Gaussovým jadrom, rovnica lineárnej difúzie, Perona-Malikova rovnica, level-set rovnice riadené krivosťou, a diskutujte ich vlastnosti.

Druhá časť obsahuje otázky zo štatistiky a optimalizačných metód:

1. SETAR (Self-Exciting Threshold Autoregressive) modely.

2- a m-režimové (m > 2) modely typu SETAR. Modelovací cyklus SETAR modelov. Informačné kritériá pre viacrežimové modely časových radov. Bodová jednokroková predpoveď pomocou SETAR modelov, chyby predpovedí.

2. STAR (Smooth Transition Autoregressive) modely

2- a m-režimové (m > 2) STAR modely. Logistická a exponenciálna prechodová funkcia, ich vlastnosti. Test linearity oproti nelinearite typu STAR. Diagnostické testy STAR modelov.

3. Viacrežimové modely časových radov s režimami určenými nepozorovateľnou premennou

Markovov reťazec: definícia a základné vlastnosti. 2- a m-režimové (m > 2) Markov – switching (MSW) modely. Modelovací cyklus MSW modelov. Odhad parametrov MSW modelov. Diagnostické testy MSW modelov.

4. Návrh regresného experimentu.

Vysvetlite pojmy experiment, cieľ optimalizácie experimentu, návrh experimentu. Uveďte kroky, ktoré treba urobiť pred experimentom. Popíšte postup pri určovaní optimálneho návrhu experimentu.

5. Kritériá optimality regresného experimentu

Vysvetlite pojem kritérium optimality. Uveďte dve základné skupiny kritérií optimality. Popíšte najčastejšie používané kritériá z každej skupiny, ich vlastnosti a gradient. Uveďte metódu  ohodnotenia stupňa optimality návrhu.

6. Metódy výpočtu optimálneho návrhu experimentu.

Finitné metódy pre súhrnné a čiastkové kritériá optimality. Iteračné metódy pre súhrnné kritérium D-optimality. Univerzálna iteračná metóda.

7. Matematické programovanie – základné pojmy a KKT podmienky

Formulácia úlohy, účelová funkcia, ohraničenia v tvare rovníc a nerovníc, prípustná množina, optimum. Duálna úloha, Karush-Kuhn-Tuckerove podmienky a ich odvodenie.

8. Bariérová metóda na riešenie úlohy konvexného programovania

Formulácia úlohy konvexného programovania. Bariérová funkcia, central path, algoritmus bariérovej metódy, Newtonova metóda pre funkciu s bariérou a ohraničeniami v tvare rovníc.

9. Úloha optimálneho riadenia pre fixný konečný čas

Sformulujte úlohu optimálneho riadenia pre fixný konečný čas a spôsob jej riešenia. Použite a vysvetlite pojmy ako riadiaca a stavová funkcia, stavová diferenciálna rovnica, počiatočný stav, voľný alebo fixný koncový stav, účelová funkcia, Hamiltonián, adjungovaná úloha, podmienky existencie riešenia, gradientná metóda.

10. Optimálne riadenie pohybu hmotného bodu

Sformulujte príklad optimálneho riadenia s voľným koncovým stavom pre pohyb hmotného bodu v rovine s konštantným zrýchlením, keď riadiacou funkciou je smer zrýchlenia a vysvetlite spôsob jeho riešenia. Sformulujte obdobný príklad s pevným fixným koncovým stavom a načrtnite spôsob jeho riešenia.

11. Simulované žíhanie

Zaradenie v rámci optimalizačných metód. Fyzikálna motivácia, možnosti použitia, stručný popis algoritmu vo všeobecnosti. Formulácia úlohy hľadania hamiltonovskej cesty v grafe. Popis riešenia tejto úlohy algoritmom simulovaného žíhania.