LDR vyšších rádov

Lineárnou diferenciálnou rovnicou (LDR) $n$-tého rádu nazývame diferenciálnu rovnicu tvaru

$$a_0(x)y^{(n)}+a_1(x) y^{(n-1)}+ \dots+ a_{n-1}(x) y'+ a_n(x) y = f(x) \,,$$ (3.17)

kde funkcie $a_0(x)$, $a_1(x),\dots$, $a_n(x)$, $f(x)$ sú spojité na intervale $I$, $a_0(x) \neq 0$ pre všetky $x\in I$.

Funkcie $a_0(x),a_1(x),\dots,a_n(x)$ nazývame koeficientami lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu. Rovnicu (3.17) môžeme upraviť na tvar

$$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)} + \dots + p_{n-1}(x) y' + p_n(x) y =g(x),$$ (3.18)

kde $p_i(x)=a_i(x)/a_0(x)$, $i=1,2,\dots,n$ a $g(x)=f(x)/a_0(x)$, $x\in I$. Skrátene túto rovnicu zapisujeme v tvare

$$L(y)=g(x) \,.$$

Ak v rovnici (3.17) pre funkciu $f(x)$ platí $f(x)=0$ pre všetky $x\in I$, hovoríme o lineárnej diferenciálnej rovnici bez pravej strany (homogénna). Ak v diferenciálnej rovnici (3.17) neplatí $f(x)=0$ pre všetky $x\in I$, hovoríme o lineárnej diferenciálenj rovnici s pravou stranou (nehomogénna).

Veta 3..5   Pre každé $x_0 \in I$ a pre začiatočné podmienky $y(x_0)=b_1$, $y'(x_0)=b_2,\dots$, $y^{(n-1)}(x_0)=b_n$, kde $b_1,b_2,\dots,b_n$ sú ľubovoľné reálne čísla, existuje práve jedno riešenie $y(x), x\in I$, lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu (3.17), ktoré spĺňa dané začiatočné podmienky.

Veta 3..6   Nech funkcie $y_1, y_2,\dots, y_m$ sú riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany. Potom každá ich lineárna kombinácia $y=c_1y_1+c_2y_2+\dots+c_m y_m$, kde $c_1,c_2,\dots,c_m$ sú ľubovoľné čísla, je riešením tejto diferenciálnej rovnice.

Poznámka. Riešenie $y = 0$ pre každé $x\in I$ nazývame triviálnym riešením diferenciálnej rovnice. Každá lineárna diferenciálne rovnica bez pravej strany má triviálne riešenie.

Teraz sa budeme zaoberať otázkou hľadania riešenia diferenciálnej rovnice s pravou stranou. K tomu potrebujeme poznať niekoľko nasledujúcich pojmov.

Nech sú dané funkcie $f_1,f_2,\dots,f_m$ definované na intervale $I$. Ak existuje taká nenulová $m$-tica reálnych resp. komplexných čísel $c_1,c_2,\dots,c_m$, že pre funkcie $f_1,f_2,\dots,f_m$ platí

$$c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\dots+c_mf_m(x)=0$$

pre každé $x\in I$, potom hovoríme, že funkcie $f_1,f_2,\dots,f_m$ sú lineárne závislé na intervale $I$. Ak funkcie $f_1,f_2,\dots,f_m$ nie sú lineárne závislé, hovoríme, že sú lineárne nezávislé na intervale $I$.
Nech funkcie $f_1,f_2,\dots,f_m$ majú na intervale $I$ derivácie až do rádu $m-1$. Potom determinant

$${\bf W}(f_1,f_2,\dots,f_m) = { \left\vert \begin{array}{rrr... ...1)}(x),&\dots, & f_m^{(m-1)}(x)\\ \end{array} \right\vert }$$

nazývame Wronského determinantom funkcií $f_1,f_2,\dots,f_m$ alebo len wronskiánom.

Veta 3..7   Ak funkcie $f_1,f_2,\dots,f_m$ sú lineárne závislé na intervale $I$, potom $W(f_1,f_2,\dots,f_m)=0$ pre každé $x\in I$.

Veta 3..8   Nech $y_1, y_2,\dots, y_m$ sú riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu bez pravej strany. Ak $m>n$, potom sú tieto riešenia lineárne závislé.

Veta 3..9   $n$-riešení $y_1,y_2,\dots,y_n$ lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu bez pravej strany je lineárne závislých (nezávislých) práve vtedy keď ich wronskián sa rovná (nerovná sa) nule aspoň v jednom čísle $x\in I$.

Každých $n$ lineárne nezávislých riešení lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu bez pravej strany nazývame fundamentálnym systémom riešení.

Veta 3..10   Každá lineárna diferenciálna rovnica $n$-tého rádu bez pravej strany má fundamentálny systém riešení.

Veta 3..11   Nech $y_1,y_2,\dots,y_n$ je fundamentálny systém riešení lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu bez pravej strany na intervale $I$. Potom každé riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu bez pravej strany má tvar

$$y= c_1 y_1 +c_2 y_2 + \dots + c_n y_n,$$

kde $c_1,c_2,\dots,c_n$ sú vhodne zvolené čísla.

Veta 3..12   Nech $Y(x)$ je riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice (3.18) s pravou stranou. Potom každé riešenie tejto diferenciálnej rovnice má tvar

$$y=Y+z,$$ (3.19)

kde $z=c_1y_1+c_2y_2+\dots+c_n y_n$ je všeobecné riešenie zodpovedajúce lineárnej diferenciálnej rovnici bez pravej strany.

Riešenie $y$ nazývame všeobecným riešením lineárnej diferenciálnej rovnice s pravou stranou.

Veta 3..13   (Metóda variácie konštánt) Ak $y_1,y_2,\dots,y_n$ je fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice

$$L(y)=0,$$

potom lineárna diferenciálna rovnica $n$-tého rádu s pravou stranou

$$L(y) =g(x)$$

má riešenie

$$Y =\sum_{i=1}^n y_i(x) \int \frac{W_i(x)}{W(x)} \,dx,$$

kde $W(x)=W(y_1,y_2,\dots,y_n)$ je wronskián fundamentálneho systému a $W_i(x)$ je determinant, ktorý vznikne z wronskiánu nahradením $i$-teho stĺpca wronskiánu stĺpcom, ktorého prvky sú $0,0,\dots,0,g(x)$.

Veta 3..14   (Princíp superpozície.) Nech funkcia $Y_i(x), x\in I$ je riešením lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu $L(y)=g_i(x)$, $i=1,2,\dots,m$. Potom funkcia $Y=Y_1+Y_2+\dots Y_m$ je riešením lineárnej rovnice $L(y)=g_1(x)+g_2(x)+\dots+g_m(x)$ na intervale $I$.

Uvedené vety poskytujú základné vedomosti o riešeniach lineárnych diferenciálnych rovníc. Existujú aj iné metódy ako určiť partikulárne riešenie rovnice $L(y)=g(x)$. O tých sa zmienime neskôr.

-

Príklad 17. Nájdime všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice

$$x y^{\prime \prime}-(1+x) y' +y=x^3,$$ (3.20)

kde $x \in (0,\infty)$, ak fundamentálny systém riešení rovnice $x y^{\prime \prime}-(1+x) y'+y=0$ je $y_1(x)=e^x$, $y_2(x) =1+x$.

Riešenie: Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice s pravou stranou je súčet všeobecného riešenia tejto rovnice bez pravej strany a jedného riešenia $Y$ tejto lineárnej diferenciálnej rovnice s pravou stranou, teda

$$y=Y+c_1 e^x+c_2(1+x).$$

Partikulárne riešenie $Y$ nájdeme metódou variácie konštánt. Našu rovnicu upravíme na tvar

$$y^{\prime \prime} -\frac{1+x}{x} y' +\frac{1}{x} y = x^2.$$

Teda $g(x)=x^2$. Pre partikulárne riešenie platí:

$$Y = y_1\int \frac{W_1}{W} \,dx + y_2 \int \frac{W_2}{W}\,dx.$$ (3.21)

Vypočítame wronskián:

$$W= { \left\vert \begin{array}{rr} e^x,& 1+x \\ e^x,& 1 \\ \end{array} \right\vert } = -xe^x.$$

Teraz vymeníme vo wronskiáne postupne prvý a druhý stĺpec za vektor $(0,x^2)$ a vypočítame $W_1,W_2$.

$$W_1= { \left\vert \begin{array}{rr} 0,& 1+x \\ x^2,& 1 \\ \end{array} \right\vert } = -x^3-x^2,$$

$$W_2= { \left\vert \begin{array}{rr} e^x,& 0 \\ e^x,& x^2 \\ \end{array} \right\vert } = x^2e^x.$$

Po dosadení do (3.21) dostávame

$$Y=e^x \int (x^2+x)e^{-x}\,dx+(1+x)\int (-x) \,dx ,$$

čiže po zintegrovaní

$$Y =-(x^3+3x^2+6x+6)/2,\ \ x \in (0,\infty).$$

Všeobecné riešenie rovnice (3.20) je preto

$$y= c_1 e^x+c_2(1+x)-(x^3+3x^2+6x+6)/2,\ \ x \in (0,\infty).$$

$\clubsuit$

Z vyššie uvedeného je jasné, že ak poznáme fundamentálny systém riešení lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu bez pravej strany, pomocou metódy variácie konštánt vieme získať aj všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu s pravou stranou. V ďalšom teda pôjde o hľadanie fundamentálneho systému riešení niektorých lineárnych diferenciálnych rovníc.