Evolúta, evolventa

Evolúta je krivka, ktorá je množinou stredov krivosti danej krivky $k$. Pre evolútu ku krivke danej parametricky (5.43) platí

$$x_e={x-\dot y \displaystyle \frac{\dot x^2+\dot y^2}{\dot x \ddot y-\ddot x \dot y}},$$

$$y_e={y+\dot x \displaystyle \frac{\dot x^2+\dot y^2}{\dot x \ddot y-\ddot x \dot y}}.$$

Pozorný čitateľ si zrejme všimne, že tieto rovnice sú zovšeobecnením rovníc stredu krivosti. Ak krivka $l$ je evolútou krivky $k$, tak krivka $k$ je evolventou krivky $l$. Analytické vyjadrenie evolventy je zložitejšie a vyžaduje si výpočet integrálov. Poznamenajme aspoň, že dotyčnica k evolúte je normálou evolventy. -

Príklad 26. Nájdime rovnicu evolúty k parabole $y = x^2$.

Riešenie: Parametriské vyjadrenie paraboly a jeho derivácie podľa parametra $t$ sú

$x=t,$	$y=t^2,$
$x=1,$	$y=2t,$
$x=0,$	$y=2.$

Rovnice hľadanej evolúty sú

$$x_e=t-2t \frac{1+(2t)^2}{1 \cdot 2-0 \cdot 2t}=-4t^3,$$

$$y_e=t^2+1 \frac{1+(2t)^2}{1 \cdot 2-0 \cdot 2t}=3t^2+0,5.$$

$\clubsuit$