Kružnica krivosti rovinnej krivky

Na vystihnutie zakrivenia krivky v bode $P(t)$ je výhodné použiť kružnicu krivosti (oskulačnú kružnicu), ktorá
  1. má s krivkou jeden spoločný bod a v ňom tú istú dotyčnicu,
  2. jej polomer sa rovná polomeru krivosti krivky $k$ v bode $P(t)$,
  3. jej stred $S$ leží na normále krivky $k$ v bode $P(t)$.
Ak je krivka daná parametricky (5.43), platí

\begin{displaymath}r={\displaystyle \frac{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}{\vert \dot x \ddot y-\ddot x
\dot y \vert }},\end{displaymath}


\begin{displaymath}x_s={x-\dot y \displaystyle \frac{\dot x^2+\dot y^2}{\dot x \ddot y-\ddot x
\dot y}},\end{displaymath}


\begin{displaymath}y_s={y+\dot x \displaystyle \frac{\dot x^2+\dot y^2}{\dot x \ddot y-\ddot x
\dot y}}\end{displaymath}

a ak je krivka daná explicitne (5.44), platí

\begin{displaymath}r={\displaystyle \frac{(1+\dot y^2)^{3/2}}{\vert \ddot y \vert}},\end{displaymath}


\begin{displaymath}
x_s=x-\dot y{\displaystyle \frac{1+\dot y^2}{\vert \ddot y \vert}},
\end{displaymath} (5.52)


\begin{displaymath}
y_s=y+{\displaystyle \frac{1+\dot y^2}{\vert \ddot y \vert}}.
\end{displaymath} (5.53)

-


Príklad 25. Nájdime kružnice krivosti paraboly $y = x^2$ v bodoch $P(0), P(1)$.


Riešenie: Polomer $r$ kružnice krivosti je prevrátená hodnota krivosti, preto vzhľadom na výsledky príkladu 22

\begin{displaymath}r(0)=0,5 \qquad r(1) =5,59.\end{displaymath}

Súradnice $x_s, y_s$ stredu kružnice krivosti vypočítame zo vzťahov (5.52) a (5.53), v ktorých potrebujeme derivácie (5.51). Zrejme $x_s(0)=0, y_s(0)=0,5$ a

\begin{displaymath}x_s(1)=1-2 \frac{1+2^2}{2}=-4,\end{displaymath}


\begin{displaymath}y_s(1)=1+2 \frac{1+2^2}{2}=3,5.\end{displaymath}

Hľadané kružnice krivosti sú

\begin{displaymath}x^2+(y-0,5)^2=0,25,\end{displaymath}


\begin{displaymath}(x+4)^2+(x-3,5)^2=31,25.\end{displaymath}

$\clubsuit$