Frenetove-Serretove vzorce

Predpokladajme opäť, že regulárna krivka $k$ je daná vektorovou rovnicou (5.22), v ktorej parameter $s$ je oblúkom. Poznamenajme, že vektor ${\bf p''}(s)$ sa nazýva vektor prvej krivosti v bode $P(s)$, teda pre veľkosť tohto vektora platí (5.34). Potom vzhľadom na (5.32) môžeme písať

$${\bf p''} = \vert {\bf p''(s_0)} \vert {\bf n_0} = {\mathcal K}{\bf n_0}.$$ (5.36)

Ak pre jednotkový dotyčnicový vektor zavedieme označenie

$${\bf d_0} = {\bf p'},$$

rovnicu (5.36) upravíme na tvar

$${\bf d'_0} = {\mathcal K}{\bf n_0}$$ (5.37)

čo je prvý Frenetov vzorec. Poznámka: Prechod od vzťahu (5.34) ku vzťahu (5.33) na výpočet krivosti nájdu záujemci v (Budinský, kap. 3.2., str 60). V danom bode $P(s)$ krivky $k$ budeme skúmať deriváciu jednotkového vektora binormály ${\bf b'_0}$ a ukáže sa, že dospejeme k druhej krivosti ${\mathcal T}$. Derivujeme podľa parametra $s$ obe strany rovnice

$${\bf b_0} \cdot {\bf b_0}=1$$

a dostaneme vzťah

$$2{\bf b'_0} \cdot {\bf b_0}=0,$$

z ktorého vyplýva, že vektor ${\bf b'_0}$ je v každom bode krivky $k$ buď nulový, alebo nenulový a kolmý na vektor ${\bf b_0}$. Môžeme teda vektor ${\bf b'_0}$ vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov ${\bf d_0}, {\bf n_0}$, ktoré sú tiež kolmé na ${\bf b_0}$ a písať

$${\bf b'_0} = A {\bf d_0} - {\mathcal T}{\bf n_0},$$ (5.38)

kde $A$ a $- {\mathcal T}$ sú neznáme konštanty. Vynásobme skalárne obe strany tejto rovnice vektorom ${\bf d_0}$. Dostaneme tak

$${\bf b'_0} \cdot {\bf d_0}=A.$$ (5.39)

Ukážeme, že $A=0$. Z rovnice ${\bf b_0} \cdot {\bf d_0}=0$ vyplýva ďalším derivovaním, že

$${\bf b'_0} \cdot {\bf d_0}+{\bf b_0} \cdot {\bf d'_0}=0.$$

Odtiaľ a zo vzťahu (5.37) ľahko overíme, že ${\bf b_0} \cdot {\bf d'_0}= {\mathcal K}{\bf b_0} \cdot {\bf n_0}=0$, a teda aj ${\bf b'_0} \cdot {\bf d_0}=0$ a z (5.39) $A=0$. Rovnica (5.38) má teda tvar

$${\bf b'_0} = - {\mathcal T}{\bf n_0}.$$ (5.40)

Nazývame ju tretím Frenetovým vzorcom. Čitateľa zrejme zaskočilo, že sa v predchádzajúcom výklade nehovorí o druhom Frenetovom vzorci. Tento bude výsledkom nasledujúcej konštrukcie. Hovoríme, že tri vektory tvoria ortonormálny systém, ak sú jednotkové a navzájom kolmé. Zrejme vektory ${\bf d_0}, {\bf n_0}$ a ${\bf b_0}$ v bode $P(s)$ krivky $k$ tvoria takýto systém. Môžeme vypočítať vektory ${\bf d'_0}, {\bf n'_0}$ a ${\bf b'_0}$ a vyjadriť ich ako lineárne kombinácie vektorov ${\bf d_0}, {\bf n_0}, {\bf b_0}$, čo zapíšeme nasledovne

$${\bf d'_0}=a_{11}{\bf d_0}+a_{12}{\bf n_0}+a_{13}{\bf b_0},$$

$${\bf n'_0}=a_{21}{\bf d_0}+a_{22}{\bf n_0}+a_{23}{\bf b_0},$$

$${\bf b'_0}=a_{31}{\bf d_0}+a_{32}{\bf n_0}+a_{33}{\bf b_0}.$$

Vo všeobecnom prípade má matica koeficientov $a_{11}, a_{12}, \dots ,a_{33}$ tvar

$$\left( \begin{array}{ccc} 0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12}... ... & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 \\ \end{array} \right)$$

Dôkaz je dostupný v (Budinský kap. 3.4., str. 66). Vzhľadom k (5.37) a (5.40) dostávame tak rovnice

${\bf d'_0} =$		${\mathcal K}{\bf n_0}$
${\bf n'_0} =$	$- {\mathcal K}{\bf d_0}$		$+ {\mathcal T}{\bf b_0}$
${\bf b'_0} =$		$- {\mathcal T}{\bf n_0}$

Tak sme odvodili Frenetove vzorce, ktoré tvoria základ diferenciálnej geometrie kriviek, pretože na ne môžeme previesť celú problematiku tejto disciplíny.