Krivosť krivky

Pri pohybe dotykového bodu $P(t_0)$ po regulárnej krivke sa mení smer dotyčnice v tomto bode. Rýchlosť zmeny smeru dotyčnice charakterizuje stupeň zakrivenia krivky. Čím viac sa v okolí bodu dotyku krivka odkláňa od dotyčnice v tomto bode, tím má väčšiu prvú krivosť (alebo krivosť či flexiu).

Obrázok 5.3: Krivosť.
\begin{figure}
\centerline{\protect{\psfig{figure=g-obr3.eps,height=4cm}}}
\end{figure}

Ak je krivka $k$ definovaná vektorovou rovnicou (#1#>), potom jej krivosť v bode $P(t_0)$ vypočítame zo vzťahu
\begin{displaymath}
{\mathcal K}^2(t_0)={\displaystyle \frac{\vert {\bf\dot p...
...(t_0) \vert^2}{({\bf\dot p}(t_0) \cdot {\bf\dot p}(t_0))^3}}.
\end{displaymath} (5.33)

Ak je krivka daná parametrickými rovnicami (#5#>), potom krivosť v bode $P(t_0)$ vypočítame zo vzťahu

\begin{displaymath}{\mathcal K}^2(t_0)={\displaystyle \frac{
\left\vert \begin{...
...right\vert ^2}{(\dot x(t_0)^2+\dot y(t_0)^2+\dot z(t_0)^2)^3}}.\end{displaymath}

Ak je krivka $k$ daná vektorovou rovnicou (5.22), v ktorej parametrom je oblúk $s$, potom krivosť v bode $P(s_0)$ vypočítame zo vzťahu
\begin{displaymath}
{\mathcal K}(s_0) = \vert {\bf p''(s_0)} \vert
\end{displaymath} (5.34)

alebo

\begin{displaymath}{\mathcal K}(s_0) =\sqrt{(x''(s_0))^2+(y''(s_0))^2+(z''(s_0))^2}.\end{displaymath}

Polomer krivosti krivky $k$ v bode $P(t_0)$ je prevrátenou hodnotou prvej krivosti krivky $k$ v tomto bode, t.j.

\begin{displaymath}{\mathcal R}(t_0)={\displaystyle \frac{1}{{\mathcal K}(t_0)}}.\end{displaymath}

-


Príklad 14. Vypočítajme prvú krivosť v ľubovoľnom bode skrutkovice (5.4).


Riešenie: Norma vektorového súčinu (5.30) v čitateli vzťahu (5.33) je

\begin{displaymath}
\vert {\bf\dot p}(t_0) \times {\bf\ddot p}(t_0) \vert=\sqrt {c^2r^2 \sin^2
t +c^2r^2 \cos^2 t +r^4}=\sqrt {r^2(c^2+r^2)}
\end{displaymath} (5.35)

a skalárny súčin v menovateli vzťahu (5.33) je vzhľadom na (5.24) a (5.29)

\begin{displaymath}{\bf\dot p}(t_0) \cdot {\bf\dot p}(t_0)=r^2 \sin^2 t +r^2 \cos^2
t +c^2=(r^2+c^2).\end{displaymath}

Potom

\begin{displaymath}{\mathcal K}(t_0)^2={\displaystyle
\frac{(\sqrt{r^2(c^2+r^2)})^2}{(r^2+c^2)^3}}={\displaystyle
\frac{r^2}{(r^2+c^2)^2}}.\end{displaymath}

To znamená, že prvá krivosť

\begin{displaymath}{\mathcal K}(t_0)={\displaystyle \frac{r}{(r^2+c^2)}}\end{displaymath}

nezávisí od parametra $t$, a teda je konštantná pozdĺž celej skrutkovice. $\clubsuit$ Nutnou a postačujúcou podmienkou na to, aby daná regulárna krivka bola priamkou je, aby v každom bode tejto krivky bola prvá krivosť rovná nule.