Torzia krivky

Pri pohybe bodu $P(t_0)$ po regulárnej krivke sa mení poloha oskulačnej roviny v tomto bode. Čím viac sa v okolí bodu $P(t_0)$ krivka odchyluje z oskulačnej roviny v tomto bode, tím má väčšiu druhú krivosť (alebo torziu). Ak je krivka $k$ definovaná vektorovou rovnicou (#1#>), potom jej torziu v bode $P(t_0)$ vypočí tame zo vzťahu

$${\mathcal T}(t_0)= {\displaystyle \frac{({\bf\dot p}(t_0) \ti... ...)} {\vert {\bf\dot p}(t_0) \times {\bf\ddot p}(t_0) \vert^2}}.$$

Ak je krivka daná parametrickými rovnicami (#5#>), potom torziu v bode $P(t_0)$ vypočítame zo vzťahu

$${\mathcal T}(t_0)={\displaystyle \frac {\left\vert \begin{ar... ... \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) \\ \end{array} \right\vert ^2}}.$$

Ak je krivka $k$ daná vektorovou rovnicou (5.22), v ktorej parametrom je oblúk $s$, potom torziu v bode $P(s_0)$ vypočítame zo vzťahu

$${\mathcal T}(s_0) = {\displaystyle \frac{({\bf p'}(s_0) \times {\bf p''}(s_0)) \cdot {\bf p'''}(s_0)} {({\bf p''}(s_0))^2}},$$

alebo

$${\mathcal T}(s_0)={\displaystyle \frac {\left\vert \begin{ar... ...y} \right\vert} {(x''(s_0))^2 + (y''(s_0))^2 + (z''(s_0))^2}}.$$

-

Príklad 15. Vypočítajme druhú krivosť v ľubovoľnom bode skrutkovice (5.4).

Riešenie: K výpočtu druhej krivosti potrebujeme vektorový súčin (5.30), jeho normu (5.35) a tretiu deriváciu vektorovej rovnice skrutkovice (5.4) podľa parametra $t$

$${\bf\ddot p}(t)=[r \sin t, - r \cos t, 0].$$

Potom

$${\mathcal T}(t)= {\displaystyle \frac{[cr \sin t, -cr \cos t,... ...ot [r \sin t, - r \cos t, 0]}{r^2(c^2+r^2)}=\frac{c}{c^2+r^2}}.$$

Pozdĺž skúmanej skrutkovice je aj druhá krivosť konštantná. $\clubsuit$