Cvičenia

1. Overte, že nasledujúce ODR majú uvedené riešenia ($A,B$ sú ľubovoľné konštanty):

$$\begin{array}{l} \vrule height 14pt width 0pt \hbox{a)\quad}... ...frac{dx}{dt} +2x=0,\quad x=A e^{-t} + B e^{-2t} \\ \end{array}$$

2. Zistite, ktoré z daných funkcií sú riešením ODR $y y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}y^{\prime \prime}=0$, ak:

$$\begin{array}{ll} \hbox{a)} y= e^{-x} & \hbox{b)} y=\cos x ... ... y=x+\cos x & \hbox{f)}\ y=\sin(2x) + \cos(2x).\\ \end{array}$$

3. V nasledujúcich úlohách nájdite diferenciálne rovnice, ktorých riešeniami sú nasledujúce funkcie ($a, b, c$ sú ľubovoľné konštanty):

$$\begin{array}{ll} \hbox{a)} xy = c, & \hbox{b)} y=x-\frac{c... ...eq 0 \\ \hbox{c)} y =ax+b & \hbox{d)} y=be^x. \\ \end{array}$$

4. Nájdite diferenciálnu rovnicu pre pohyb telesa s hmotnosťou $m$, ktoré sa priamočiaro pohybuje v prostredí, ktorého odpor proti pohybu telesa je priamo úmerný druhej mocnine rýchlosti telesa a na teleso nepôsobia iné sily.

5. Dotyčnica ku krivke v ľubovoľnom bode $P$, pretína os x-ovú v bode $A$ a os y-ovú v bode $B$, pričom platí: 2AP=PB. Krivka prechádza bodom $(1,1)$. Nájdite uvedenú krivku.

6. Nádrž tvaru kvádra umiestnená vo vodorovnej polohe je naplnená vodou do výšky $h$ v čase $t=0$. Voda vyteká z nádrže malým otvorom na dne nádrže rýchlosťou úmernou druhej odmocnine výšky hladiny vody. Nájdite čas, ktorý uplynie, kým sa nádrž vyprázdni.