Nevlastné integrály prvého druhu

Pri počítaní integrálu $\int\limits_{-\infty}^b f(x)\,dx$ zo zrejmých dôvodov nemôžeme použiť vzťah (2.1). Preto postupujeme nasledovne

1. Vypočítame integrál $F(a) = \int\limits_a^b f(x)\,dx$ ako funkciu dolnej hranice.
2. Hľadáme $\lim_{a \rightarrow -\infty} F(a)$.

Pritom môžu nastať dva prípady.

Ak hľadaná limita existuje a je vlastná, hovoríme, že daný integrál konverguje.

Ak hľadaná limita neexistuje alebo je nevlastná, hovoríme, že daný integrál diverguje.

Analogicky postupujeme pri výpočte integrálu $\int\limits_a^{\infty} f(x)\,dx$.
Pri výpočte integrálu $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$ postupujeme tak, že zvolíme ľubovoľné číslo $a \in \mathcal{R}$ a vypočítame integrály $\int\limits_{-\infty}^a f(x)\,dx$ a  $\int\limits_a^{\infty} f(x)\,dx$. Hľadaný integrál konverguje práve vtedy, ak konvergujú obidva počítané integrály a potom

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int\limits_{-\infty}^a f(x)\,dx + \int\limits_a^{\infty} f(x)\,dx.$$

Výpočet príslušných primitívnych funkcií v príkladoch tejto časti necháme na čitateľa. -

Príklad 13. Vypočítame nevlastné integrály prvého druhu
$\int_{-\infty}^0 x^2 e^{x^3}\,dx,\quad \int_0^{\infty} \cos x\,dx,\quad \int_a^... ...y} \frac{dx}{x^p},\ a~> 0,\ p > 0\quad \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$.

Riešenie:

$$\int_{-\infty}^0 x^2 e^{x^3}\,dx = \lim_{a \rightarrow -\i... ...m_{a \rightarrow -\infty} \frac13 \left[ e^{x^3} \right]_a^0 =$$

$$= \frac13 \lim_{a \rightarrow -\infty} \left( 1 - e^{a^3} \... ...c13 - \frac13 \lim_{a \rightarrow -\infty} e^{a^3} = \frac13.$$

$$\int_0^{\infty} \cos x\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \... ...eft[ \sin x \right]_0^b = \lim_{b \rightarrow \infty} \sin b.$$

Posledná limita neexistuje, preto integrál diverguje.
Pri počítaní tretieho integrálu najskôr predpokladajme, že $p \neq 1$.

$$\int_a^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \lim_{b \rightarrow \inft... ...rightarrow \infty} \left[ \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \right]_a^b =$$

$$= \lim_{b \rightarrow \infty} \frac{1}{1-p} (b^{1-p} - a^{1... ...\frac{1}{1-p} (\lim_{b \rightarrow \infty} b^{1-p} - a^{1-p}).$$

Limita v poslednom výraze je $\infty$, ak $1-p > 0$ a rovná sa nule, ak $1-p < 0$. Preto integrál diverguje pre $p < 1$. Pre $p > 1$ je

$$\int_a^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \frac{a^{1-p}}{p-1}.$$

V prípade $p=1$ máme

$$\lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b \frac{1}{x}\,dx = \li... ...ht]_a^b = \lim_{b \rightarrow \infty} \ln b - \ln a~= \infty.$$

Integrál preto diverguje aj v prípade $p=1$.
Integrovaná funkcia je párna. Preto podľa vlastnosti (2.10) platí

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = 2 \int_0^{\inft... ...im_{b \rightarrow \infty} \left[ \mbox{arctg}\,x \right]_0^b =$$

$$= 2 \lim_{b \rightarrow \infty} (\mbox{arctg}\,b - 0) = 2 \frac{\pi}{2} - 0 = \pi.$$

$\clubsuit$

Niekedy nie je potrebné zistiť presnú hodnotu nevlastného integrálu, ale máme len rozhodnúť či integrál konverguje alebo diverguje. Vtedy môžeme použiť nasledujúce kritériá.

• Ak $\int\limits_a^{\infty} \vert f(x)\vert\,dx$ konverguje, tak aj $\int\limits_a^{\infty} f(x)\,dx$ konverguje.
• Nech $f$ a $g$ sú spojité funkcie a nech $0 \leq f(x) \leq g(x)$ platí pre všetky $x \geq x_0$ pre niektoré $x_0 \in \mathrm{R}$. Potom, ak $\int\limits_a^{\infty} g(x)\,dx$ konverguje, tak aj $\int\limits_a^{\infty} f(x)\,dx$ konverguje.
• Nech existuje konečná $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ a je rôzna od nuly. Potom obidva nevlastné integrály $\int\limits_a^{\infty} g(x)\,dx$ a  $\int\limits_a^{\infty} f(x)\,dx$ buď súčasne konvergujú alebo súčasne divergujú.

Analogické kritériá platia pre konvergenciu nevlastných integrálov typu $\int\limits_{-\infty}^b f(x)\,dx$. Pri porovnávaní konvergencie integrálov často požívame výsledok predchádzajúceho príkladu, že $\int_a^{\infty} \frac{dx}{x^p},\ a~> 0,\ p > 0$ konverguje práve vtedy, ak $p > 1$. -

Príklad 14. Rozhodnite o konvergencii integrálov

$$I~= \int\limits_1^{\infty} \frac{dx}{1+x^{10}},\quad J = \... ...{x+\sin^2 x},\quad K~= \int\limits_0^{\infty} \sin (x^2)\,dx.$$

Riešenie: V predchádzajúcom príklade sme ukázali, že $\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x^{10}}\,dx$ konverguje. Pretože pre všetky $x \geq 1$ je $\frac{1}{1+x^{10}} < \frac{1}{x^{10}}$, koverguje aj integrál $I = \int\limits_1^{\infty} \frac{1}{1+x^{10}}\,dx$.
V predchádzajúcom príklade sme ukázali, že $\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx$ diverguje. Pretože $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x+\sin^2 x}} = 1$, diverguje aj $J = \int\limits_1^{\infty} \frac{dx}{x+\sin^2 x}$.
Substitúciou $x=\sqrt{t}$ prevedieme daný integrál

$$K~= \int\limits_0^{\infty} \sin (x^2)\,dx = \frac12 \int\l... ...\frac{\pi}{2}}^{\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}}\,dt. \right)$$

Prvý integrál je vlastný, lebo funkcia $\frac{\sin t}{\sqrt{t}}$ je ohraničená, keďže $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} = 0$ (overte!). Druhý integrujeme metódou per partes

$$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}... ...imits_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} \frac{\cos t}{\sqrt{t^3}}\ dt.$$

Pri výpočte sme použili

$$\left[ -\frac{\cos t}{\sqrt{t}} \right]_\frac{\pi}{2}^{\inft... ...} \left[ -\frac{\cos t}{\sqrt{t}} \right]_\frac{\pi}{2}^b = 0.$$

Pre všetky $t$ platí $\frac{\cos t}{\sqrt{t^3}} \leq \frac{1}{\sqrt{t^3}}$ a integrál $\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t^3}}\,dt$ konverguje podľa predchádzajúceho príkladu. Preto aj integrál $\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} \frac{\cos t}{\sqrt{t^3}}\,dt$ konverguje, a tiež pôvodný integrál $K$ konverguje. $\clubsuit$