Vlastnosti určitého integrálu

Nasledujúca vlastnosť sa volá Veta o strednej hodnote pre určitý integrál a vyplýva zo vzťahu (2.1) a Vety o strednej o hodnote pre derivácie.

Ak $f$ je spojitá funkcia v intervale $(a,b)$, tak existuje také číslo $c \in (a,b)$, že platí

$$\int\limits_a^b f(x)\,dx = f(c) (b-a).$$ (2.7)

Hodnota $f(c)$ v tomto vzťahu sa volá stredná hodnota integrálu $\int\limits_a^b f(x)\,dx$.

Dôsledkom Vety o strednej hodnote sú nasledujúce dva vzťahy, ktoré sa používajú na odhady integrálov (alebo iných hodnôt), ktoré je ťažké alebo nemožné presne vypočítať.

Ak pre všetky $x \in (a,b)$ platí $f(x) \leq g(x)$, tak

$$\int\limits_a^b f(x)\,dx \leq \int\limits_a^b g(x)\,dx.$$ (2.8)

Ak pre všetky $x \in (a,b)$ platí $m \leq f(x) \leq M$, tak

$$m(b-a) \leq \int\limits_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a).$$ (2.9)

-

Príklad 6. Odhadneme $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x}\,dx$.

Riešenie: Tento integrál nie je možné presne vypočítať elementárnymi metódami. Z vety o strednej hodnote pre derivácie a z konkávnosti funkcie $\sin x$ v intervale $(0,\frac{\pi}{2})$ vyplýva (načrtnite si obrázok a overte), že pre všetky $x \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$ platí

$$\frac{2}{\pi}x < \sin x < x$$

a po vydelení kladným číslom $x$ dostaneme

$$\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x} < 1$$

Použitie vzťahu (2.8) dáva

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi} \,dx \leq \int... ...ac{\sin x}{x} \,dx \leq \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \,dx.$$

Po výpočte jednoduchých integrálov z konštánt dostávame odhad

$$1 \leq \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \,dx \leq \frac{\pi}{2}.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 7. Odhadneme integrál $\int\limits_2^4 e^{-x^2}\,dx$.

Riešenie: Integrovaná funkcia je klesajúca v intervale $(2,4)$, preto pre všetky $x \in (2,4)$ platí

$$e^{-16} < e^{-x^2} < e^{-4}.$$

Použitím vlastnosti (2.9) dostávame odhad

$$2 \cdot 10^{-7} \approx 2 e^{-16} = \int\limits_2^4 e^{-16}... ...2}\,dx \leq \int\limits_2^4 e^{-4} = 2 e^{-4} \approx 0,0366.$$

$\clubsuit$

Vlastnosti symetrie integrovanej funkcie majú vplyv na určitý integrál.

Ak $f$ je spojitá párna funkcia, tak

$$\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx = 2 \int\limits_0^a f(x)\,dx,$$ (2.10)

Ak $f$ je spojitá nepárna funkcia, tak

$$\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx = 0,$$ (2.11)

Ak $f$ je spojitá periodická funkcia s periodou $p$ a  $a,\ c \in \mathcal {R}$, tak

$$\int\limits_0^p f(x)\,dx = \int\limits_a^{a+p} f(x)\,dx = \int\limits_a^{a+p} f(x - c)\,dx.$$ (2.12)

-

Príklad 8. Ukážeme platnosť vzťahu (2.11) a pomocou neho a vzťahu (2.12) vypočítame integrál

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin px\,dx,\qquad p \in \mathcal{R}.$$

Riešenie: Nech $f$ je spojitá nepárna funkcia a $F$ je niektorá jej primitívna funkcia v intervale $\langle -a,a \rangle$. Najskôr ukážeme, že $F$ je párna funkcia. Deriváciou zloženej funkcie $F(-x)$ a použitím vlastnosti nepárnej funkcie $f(x) = -f(-x)$ dostávame

$$[F(-x)]' = F'(-x) \cdot (-1) = -f(-x) = f(x) = F'(x).$$

Integrovaním obidvoch krajných výrazov rovnosti dostávame

$$F(-x) + c_1 = \int [F(-x)]'\,dx = \int F'(x)\,dx = F(x) + c_2$$

a úpravou dostaneme rovnosť

$$F(x) - F(-x) = c_1 - c_2 = c,$$

ktorá platí pre všetky $x \in D(f)$. Dosadením $-x$ namiesto $x$ do tejto rovnosti máme

$$c = F(-x) - F(x) = -\left( F(x) - F(-x) \right) = - c.$$

Preto $c=0$ a $F(-x) = F(x)$ pre všetky $x \in D(F)$ a $F$ je párna funkcia. Pretože $F$ je párna funkcia, platí

$$\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx = \left[ F(x) \right]_{-a}^a = F(a) - F(-a) = 0.$$

Keďže funkcia $\sin px$ je nepárna, pre každé reálne číslo $p$, platí $\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin px\,dx = 0$. $\clubsuit$

Poznámka 2. Pomocou vzťahu (2.11) môžeme vypočítať aj integrály z nepárnych funkcií, ku ktorým je veľmi ťažké alebo nemožné nájsť primitívnu funkciu, napr.

$$\int\limits_{-1}^1 \frac{x^2 \arcsin x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = 0.$$

-

Príklad 9. Nech $m$ a $n$ sú prirodzené čísla. Ukážeme, že

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx\,dx = 0,\quad \mathrm{ak}\quad m \neq n$$

a

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx\,dx = \pi,\quad \mathrm{ak}\quad m = n.$$

Riešenie: Integrovanú funkciu upravíme podľa vzťahu

$$\cos \alpha \cos \beta = \frac12 \left( \cos (\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right).$$

Potom s použitím predchádzajúceho príkladu

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx\,dx = \frac12 \in... ...s_{-\pi}^{\pi} \left( \cos (m-n)x + \cos (m+n)x \right)\,dx =$$

$$\frac12 \left( \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos (m-n)x\,dx + \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos (m+n)x\,dx \right).$$

Druhý integrál je nulový pre všetky dvojice prirodzených čísel $m,\ n$, prvý je nulový ak $m \neq n$. Ak $m = n$, tak

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx\,dx = \frac12 \in... ... \int\limits_{-\pi}^{\pi} 1 \,dx = \frac12 \cdot 2 \pi = \pi.$$

$\clubsuit$

Niekedy je možné použitím vlastností (2.12) vypočítať určitý integrál bez výpočtu primitívnej funkcie. -

Príklad 10. Vypočítame $\int\limits_0^{2\pi} \sin^4 x \cos^2 x\,dx$.

Riešenie: Použijeme vzťahy (2.12) a trigonometrické identity $\sin x = \cos(x - \frac{\pi}{2})$ a  $\cos x = -\sin(x - \frac{\pi}{2})$. Substitúciou $t = x - \frac{\pi}{2}$ dostávame

$$I~= \int\limits_0^{2\pi} \sin^4 x \cos^2 x\,dx = \int\limi... ...} \cos^4 (x - \frac{\pi}{2}) \sin^2 (x - \frac{\pi}{2})\,dx =$$

$$= \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t\,dt = \int\limits_0^{2\pi} \cos^4 x \sin^2 x\,dx.$$

Sčítaním integrálov na ľavej a pravej strane a použitím vzťahov $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ a  $\sin x \cos x = \frac12 \sin 2x$ dostávame

$$I~= \frac12 (\int\limits_0^{2\pi} \sin^4 x \cos^2 x\,dx + ... ...x\,dx) = \frac12 \int\limits_0^{2\pi} \sin^2 x \cos^2 x\,dx =$$

$$= \frac12 \int\limits_0^{2\pi} \frac14 \sin^2 2 x\,dx = \frac18 \int\limits_0^{2\pi} \sin^2 2 x\,dx.$$

Opätovným použitím trigonometrických vzťahov dostávame (podrobnosti nechávame čitateľovi)

$$I~= \frac{1}{16} \int\limits_0^{2\pi} (\sin^2 2 x + \cos^2 ... ...x = \frac{1}{16} \int\limits_0^{2\pi} 1\,dx = \frac{\pi}{8}.$$

$\clubsuit$