Pojem určitého integrálu

Definícia určitého integrálu je pomerne zložitá a čitateľ ju nájde napr. v [1], [5], [6]. Na tomto mieste ju len voľne opíšeme.

Predstavme si, že v intervale $\langle a,b \rangle$ je definovaná nezáporná spojitá funkcia $f$ a potrebujeme vypočítať obsah plochy "pod jej grafom", t.j. obsah rovinnej oblasti ohraničenej grafom funkcie $f$, osou $o_x$ a priamkami $x = a$ a $x=b$. Pokiaľ je $f$ lineárna alebo konštantná, jedná sa o lichobežník, prípadne obdĺžnik a riešenie úlohy je jednoduché. Pre všeobecnú funkciu môžeme postupovať nasledovne.

Obrázok 2.1: Určitý integrál.

1. Rozdelíme bodmi $a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b$ interval $\langle a,b \rangle$ na $n$ podintervalov $\langle x_{i-1},x_i \rangle$. Označme $d$ dĺžku najdlhšieho z nich.
2. V každom podintervale zvolíme niektorý bod $p_i$.
3. V každom podintervale nahradíme príslušnú časť plochy obdĺžnikom so základňou dĺžky $(x_i - x_{i-1})$ a výškou $f(p_i)$.
4. Sčítame obsahy všetkých takýchto obdĺžnikov.
   
   $$S~= \sum_{i = 1}^n f(p_i) (x_i - x_{i-1}).$$
   
   

Dostávame tak aproximáciu (približnú hodnotu) hľadaného obsahu. S týmto výsledkom sa však nemôžeme uspokojiť. Z obrázku je vidieť, že ak zhustíme deliace body, hodnota $S$ sa viac priblíži skutočnej hodnote. Preto celý postup opakujeme tak, že dĺžka $d$ najdlhšieho podintervalu sa bude blížiť k nule. Takto limitnou hodnotou aproximácie $S$ bude hľadaný obsah.

Tento teoretický postup je však pre všeobecnú funkciu $f$ prakticky neuskutočniteľný. Preto hladáme iný spôsob, ako nájsť hľadaný obsah. Označme $S(x)$ obsah plochy pod grafom funkcie $f$ v intervale $\langle a,x \rangle$. Všimnime si zmenu $S(x+h) - S(x)$ pre číslo $h$ blízke k nule. Táto sa približne rovná obsahu obdĺžnika so stranami dĺžok $h$ a $f(x)$, teda $S(x+h) - S(x) \approx h f(x)$.

Obrázok 2.2: $S'(x) = f(x)$

Preto

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{S(x+h) - S(x)}{h} = f(x).$$

Výraz na ľavej strane je derivácia funkcie $S$ v bode $x$, takže dostávame dôležitý fakt

$$S'(x) = f(x),$$

z ktorého vyplýva, že $S$ je tá primitívna funkcia k funkcii $f$ v intervale $\langle a,b \rangle$, pre ktorú platí $S(a) = 0$ (v bode $a$ sa jedná o "plochu" s nulovým obsahom). Preto hľadaný obsah sa rovná rozdielu $S(b) - S(a)$.

V predchádzajúcich riadkoch je približne opísaný proces integrácie spojitej funkcie $f$ v intervale $\langle a,b \rangle$ a motivuje nasledujúci pojem určitého integrálu. Nech $f$ je spojitá funkcia v intervale $\langle a,b \rangle$ a $F$ je funkcia primitívna k $f$ v intervale $\langle a,b \rangle$. Určitý integrál funkcie $f$ v intervale $\langle a,b \rangle$ je číslo $F(b) - F(a)$. Tento fakt zapisujeme nasledovne

$$\int\limits_a^b f(x)\,dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a).$$ (2.1)

Poznámka 1. Uvedený vzťah sa volá Newtonova-Leibnizova formula. Neurčitý a určitý integrál sú vo svojej podstate naprosto odlišné matematické objekty. Kým neurčitý integrál je množina funkcií, určitý integrál je číslo. To, čo ich spája (okrem slova integrál v ich názvoch), je skutočnosť vyjadrená uvedeným vzťahom (2.1), že určitý integrál sa dá vyjadriť pomocou ľubovoľnej funkcie z neurčitého integrálu. Vo vzťahu (2.1) výraz na ľavej strane je označením určitého integrálu funkcie $f$ v intervale $\langle a,b \rangle$ a výraz v strede je iný zápis čísla $F(b) - F(a)$. Pri samotnom výpočte postupujeme tak, že najskôr nájdeme niektorú primitívnu funkciu $F$ k funkcii $f$ (označenie výrazom v strede) a potom dosadíme krajné body intervalu a odčítame (výraz na pravej strane). Odporúčame čitateľovi presvedčiť sa, že číslo $F(b) - F(a)$ nie je závislé od výberu primitívnej funkcie. -

Príklad 1. Vypočítame a) $\int\limits_1^4 x\,dx$, b) $\int\limits_1^4 x^2\,dx$, c) $\int\limits_{-1}^1 x^2\,dx$, d) $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx$, e) $\int\limits_1^e \ln x\,dx$, f) $\int\limits_0^1 \frac{\,dx}{1+x^2}$.

Riešenie: a)

$$\int\limits_1^4 x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^4 = \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{15}{2}.$$

b)

$$\int\limits_1^4 x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{63}{3}.$$

c)

$$\int\limits_{-1}^1 x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{2}{3}.$$

d)

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -0 - (-1) = 1.$$

e)

$$\int\limits_1^e \frac{1}{x}\,dx = \left[ \ln x \right]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1.$$

f)

$$\int\limits_0^1 \frac{\,dx}{1+x^2} = \left[ \mbox{arctg}\,... ...ght]_0^1 = \mbox{arctg}\,1 - \mbox{arctg}\,0 = \frac{\pi}{4}.$$

$\clubsuit$

Ak $a \leq b$, tak definujeme

$$\int\limits_b^a f(x)\,dx = - \int\limits_a^b f(x)\,dx.$$

Nasledujúce vzťahy sú jednoduchými dôsledkami vzťahu (2.1) a vlastností neurčitého integrálu a platia, ak funkcie sú spojité v intervaloch, v korých integrujeme.

$$\int\limits_a^a f(x)\,dx = 0.$$ (2.2)

$$\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^c f(x)\,dx + \int\limits_c^b f(x)\,dx.$$ (2.3)

$$\int\limits_a^b \left(c f(x) + d g(x)\right)\,dx = c \int\... ...dx + d \int\limits_a^b g(x)\,dx,\qquad c, d \in {\mathcal R}.$$ (2.4)

Vzťah (2.4) sa používa pri výpočte integrálov zložených z funkcií, ktorých integrál už poznáme. -

Príklad 2. Vypočítame $\int\limits_1^4 (3x^2-5x)\,dx$.

Riešenie: Výpočet môžeme uskutočniť priamo

$$\int\limits_1^4 (3x^2 - 5x)\,dx = \left[ x^3 - 5 \cdot \frac... ...4^2}{2} \right) - \left( 1^3 - 5 \cdot \frac{1^2}{2} \right) =$$

$$= \left( 64 - 5 \cdot \frac{16}{2} \right) - \left( 1 - 5 \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{51}{2}$$

alebo použitím vzťahu (2.4) a prvých dvoch integrálov v Príklade 0

$$\int\limits_1^4 (3x^2 - 5x)\,dx = 3 \int\limits_1^4 x^2\,d... ...= 3 \cdot \frac{63}{3} - 5 \cdot \frac{15}{2} = \frac{51}{2}.$$

Pri výpočte nasledujúceho integrálu použijeme vzťah (2.3). -

Príklad 3. Vypočítame $\int\limits_0^{\pi} \vert\cos x\vert\,dx$.

Riešenie: Pretože funkcia $\cos x$ mení v bode $\frac{\pi}{2}$ intervalu integrácie znamienko, integrál vypočítame podľa vzťahu (2.3) ako súčet integrálov.

$$\int\limits_0^{\pi} \vert\cos x\vert\,dx = \int\limits_0^{... ...cos x\,dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos x)\,dx =$$

$$= \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \left[ \sin x ... ...frac{\pi}{2} - \sin 0) - (\sin \pi - \sin \frac{\pi}{2}) = 2.$$

$\clubsuit$