Parametrické, explicitné a implicitné rovnice krivky

Vektorová rovnica (5.1) krivky je ekvivalentná s parametrickými rovnicami priestorovej krivky

$$x=x(t), \qquad y=y(t), \qquad z=z(t), \qquad t \in J.$$ (5.5)

Ak sú dané dve reálne funkcie

$$y=f(x), \qquad z=g(x), \qquad x \in J,$$ (5.6)

resp.

$$z=f(y), \qquad x=g(y), \qquad y \in J,$$

alebo

$$x=f(z), \qquad y=g(z), \qquad z \in J,$$

definované a spojité na spoločnom intervale $J$, potom sú rovnice (5.6) (resp. iná uvedená dvojica rovníc) explicitnými rovnicami krivky v priestore. Ak sú dané dve reálne funkcie

$$h(x,y,z)=0, \qquad l(x,y,z)=0,$$ (5.7)

definované a spojité na spoločnej trojrozmernej oblasti $\Omega \in E^3$ a hodnosť matice

$$M(x, y, z)= \left( \begin{array}{ccc} {\displaystyle \fra... ...style \frac{\partial l}{\partial z}} \\ \end{array} \right)$$

je rovná dvom v každom bode $[x,y,z]$, ktorý vyhovuje rovniciam (5.7), potom rovnice (5.7) sú implicitnými rovnicami krivky v priestore. Krivka je tak definovaná ako prienik dvoch plôch daných rovnicami (5.7). -

Príklad 3. Napíšme parametrické, explicitné a implicitné rovnice skrutkovice (5.4)

Riešenie: Rozpísaním vektorovej rovnice (5.4) dostaneme tri parametrické rovnice skrutkovice v tvare

$$x=r \cos t, \qquad y=r \sin t, \qquad z=ct.$$

Z poslednej rovnice vyjadríme parameter $t$ ako funkciu premennej $z$

$$t=z/c,$$

a dosadíme ho do prvých dvoch rovníc. Dostaneme nasledujúci tvar

$$x=r \cos(z/c), \qquad y=r \sin(z/c)$$

explicitných rovníc $x=f(z)$, $y=g(z)$ danej skrutkovice. Implicitné rovnice napíšeme veľmi jednoducho

$$x-r \cos(z/c)=0, \qquad y-r \sin(z/c)=0.$$

$\clubsuit$ -

Príklad 4. Napíšme parametrické vyjadrenie krivky danej implicitnými rovnicami

$$xy-1=0, \qquad x+y-z=0, \qquad x>0,\ y>0.$$ (5.8)

Riešenie: Z rovníc (5.8) vyjadríme dve premenné ako funkciu zostávajúcej premennej. Tak získame explicitné vyjadrenie tejto krivky

$$y={\displaystyle \frac{1}{x}}, \qquad z=x+y=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}, \qquad x>0.$$

Od explicitného vyjadrenia prejdeme k jednoduchej parametrizácii krivky (5.8)

$$x=t, \qquad y={\displaystyle \frac{1}{t}}, \qquad z=t+{\displaystyle \frac{1}{t}}, \qquad t> 0.$$

$\clubsuit$