LDR s konštantnými koeficientami

Rovnicu

$$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)}+\dots+ a_{n-1}y^\prime +a_n y=0,$$ (3.22)

kde $a_i$, $i=1,2,\dots,n$, sú reálne čísla, nazývame lineárnou diferenciálnou rovnicou (LDR) s konštantnými koeficientami bez pravej strany. Skrátene ju môžeme zapísať

$$L_n(y)=0.$$

Fundamentálny systém takejto diferenciálnej rovnice vieme nájsť a to si teraz ukážeme. Algebraickú rovnicu prislúchajúcu k diferenciálnej rovnici (3.22)

$$r^n+a_1 r^{n-1}+\dots+ a_{n-1} r +a_n =0$$

nazývame charakteristickou rovnicou diferenciálnej rovnice (3.22) a jej korene charakteristickými koreňmi diferenciálnej rovnice. Z algebry platí, že v obore komplexných čísel má polynóm $n$-tého stupňa práve $n$ koreňov vrátane násobnosti týchto koreňov. Podľa toho, akého tvaru sú charakteristické korene, dostávame fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice (3.22).

Veta 3..15   Nech charakteristické korene diferenciálnej rovnice (3.22) sú

1. $r_1,r_2,\dots, r_m$ navzájom rôzne reálne korene
   $r_1$ je $k_1$-násobný, $r_2$ je $k_2$ násobný, ..., $r_m$ je $k_m$ násobný
2. $\alpha_1\pm i \beta_1$ , $\alpha_2\pm i \beta_2$ , ..., $\alpha_p \pm i \beta_p$ , páry navzájom rôznych komplexných koreňov
   $\alpha_1\pm i \beta_1$ ako $s_1$ násobný, $\alpha_2\pm i \beta_2$ ako $s_2$ násobný, ... $\alpha_p \pm i \beta_p$ ako $s_p$ násobný koreň, pričom $\beta_i \ne 0,\ i=1,2,\dots,p.$

Nech platí

$$k_1+k_2 +\dots +k_m+2(s_1+s_2 +\dots +s_p) =n.$$

Potom funkcie $e^{r_1x}, xe^{r_1x},x^2 e^{r_1x},\dots, x^{k_1-1}e^{r_1x,},$ $e^{r_2x}, xe^{r_2x},x^2 e^{r_2x},\dots, x^{k_2-1}e^{r_2x,},$ $\dots \dots \dots$ $e^{r_mx}, xe^{r_mx},x^2 e^{r_mx},\dots, x^{k_m-1}e^{r_mx,}.$ $e^{\alpha_1x} \cos \beta_1x,xe^{\alpha_1x} \cos \beta_1x, \dots, x^{s_1-1}e^{\alpha_1x} \cos \beta_1x,$ $e^{\alpha_1x} \sin \beta_1x,xe^{\alpha_1x} \sin \beta_1x, \dots, x^{s_1-1}e^{\alpha_1x} \sin \beta_1x,$ $\dots \dots \dots$ $e^{\alpha_px} \cos \beta_px,xe^{\alpha_px} \cos \beta_px, \dots, x^{s_p-1}e^{\alpha_px} \cos \beta_px,$ $e^{\alpha_px} \sin \beta_px,xe^{\alpha_px} \sin \beta_px, \dots, x^{s_p-1}e^{\alpha_px} \sin \beta_px,$ tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (3.22).

Teraz si ukážeme použitie tejto vety na jednoduchých lineárnych diferenciálnych rovniciach druhého rádu s konštantnými koeficientami. Pre charakteristické korene tejto rovnice môžu nastať len tieto prípady:

1. Korene $r_1, \ r_2$ sú reálne a navzájom rôzne. Potom fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice tvoria funkcie
   
   $$e^{r_1 x},\ e^{r_2x}.$$
   
   

2. Koreň $r_1$ je dvojnásobným reálnym koreňom. Potom fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice tvoria funkcie
   
   $$e^{r_1 x},\ xe^{r_1x}.$$
   
   

3. Korene $r_1, \ r_2$ sú komplexne združené čísla. To jest $r_1=\alpha + i \beta$, $r_2 = \alpha -i \beta$. Potom fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice tvoria funkcie
   
   $$e^{\alpha x}\cos \beta x,\ e^{\alpha x}\sin \beta x.$$
   
   

Uvedieme príklady na všetky tieto možnosti. -

Príklad 18. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

$$y^{\prime \prime} - 5 y^\prime +6y=0$$

Riešenie: Charakteristická rovnica je tvaru

$$r^2 -5r+6 =0.$$

Jej korene sú: $r_1=2, \ r_2=3$. Charakteristické korene sú teda dva reálne a navzájom rôzne. Preto fundamentálny systém riešení uvedenej diferenciálnej rovnice je:

$$y_1= e^{2x},\ y_2 = e^{3x}$$

Všeobecné riešenie je preto tvaru:

$$y= c_1 e^{2x}+c_2 e^{3x}$$

$\clubsuit$

-

Príklad 19. Riešme diferenciálnu rovnicu:

$$y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} +y=0.$$

Riešenie: Z charakteristickej rovnice, ktorá je tvaru $r^2 -2r +1=0,$ hneď vidíme, že charakteristický koreň je jeden reálny dvojnásobný: $r_1=1$. Fundamentálny systém tvoria teda funkcie

$$y_1= e^x, \ y_2 = x e^x.$$

Všeobecné riešenie je preto tvaru:

$$y= c_1 e^{x}+c_2x e^{x}.$$

-

Príklad 20. Je daná diferenciálna rovnica:

$$y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} +5y=0.$$

Nájdime všeobecné riešenie.

Riešenie: V tomto prípade charakteristická rovnica $r^2 +2r +5=0,$ má dva komplexne združené korene $r_1=-1+2i,\ r_2= -1 -2i$. Fundamentálny systém tvoria teda funkcie

$$y_1= e^{-x}\cos 2x, \quad y_2 = e^{-x}\sin 2x.$$

Všeobecné riešenie je preto tvaru:

$$y= e^{-x}(c_1 \cos 2x + c_2\sin 2x).$$

$\clubsuit$

-

Príklad 21. Je daná diferenciálna rovnica:

$$y^{\prime\prime} +4y=0.$$

Nájdime všeobecné riešenie.

Riešenie: V tomto prípade charakteristická rovnica $r^2+4=0,$ má dva komplexne združené rýdzoimaginárne korene $r_1=+2i,\ r_2=-2i$. Fundamentálny systém tvoria teda funkcie

$$y_1= \cos 2x, \ y_2 = \sin 2x.$$

Všeobecné riešenie je preto tvaru:

$$y= c_1 \cos 2x + c_2\sin 2x.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 22. Riešme diferenciálnu rovnicu

$$y^{\prime \prime} + 5 y^{\prime} +6y =0$$

ak vieme, že $y(0)=1$ a $y^{\prime}(0) = -6$.

Riešenie: Charakteristická rovnica je tvaru $r^2 +5r + 6=0$ a teda $r_1= -3,\ r_2 = -2$. Všeobecné riešenie je tvaru

$$y= c_1 e^{-3x} + c_2 e^{-2x}.$$

Vypočítame teraz koeficienty $c_1,\ c_2$, tak, aby platili podmienky $y(0)=1$ a $y^{\prime}(0) = -6$. Dosadíme do všeobecného riešenia prvú podmienku. Musí teda platiť:

$$1= c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 1,$$

z čoho dostávame

$$c_1=1-c_2.$$

Teraz to isté urobíme pre druhú podmienku:

$$-6= -3c_1 \cdot 1 -2 c_2 \cdot 1.$$

Dosadíme $c_1=1-c_2$ a vypočítame $c_2$. Máme: $-6 = -3 +3c_2-2 c_2$ a z toho $c_2 = -3$. Vypočítame $c_1$:

$$c_1 = 1 - c_2, \mbox{ a preto } c_1 = 4.$$

Riešenie tejto diferenciálnej rovnice s uvedenými podmienkami je tvaru

$$y= 4 e^{-3x} -3 e^{-2x}.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 23. Riešme danú diferenciálnu rovnicu

$$\frac{d^2y}{dx} +9y =0$$

ak vieme, že $y=1$ pre $x=0$ a $y = 2$ pre $x=\frac{\pi}{2}$.

Riešenie: Charakteristická rovnica je tvaru $r^2 + 9=0$ a teda $r_1= 3i,\ r_2 = -3i$. Korene sú v tomto prípade rýdzo imaginárne (reálna časť komplexného čísla je nulová) preto všeobecné riešenie je tvaru

$$y= c_1 \cos 3x + c_2 \sin 3x.$$

Vypočítame teraz koeficienty $c_1,\ c_2$, tak, aby platili podmienky $y=1$ pre $x=0$ a $y = 2$ pre $x=\frac{\pi}{2}$. Dosadíme do všeobecného riešenia prvú podmienku. Musí teda platiť:

$$1= c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 0,$$

z čoho hneď dostávame $c_1=1$. Teraz to isté urobíme pre druhú podmienku:

$$2= 1 \cdot 0 + c_2 \cdot (-1).$$

Pre $c_2$ máme: $c_2 =-2$. Riešenie tejto diferenciálnej rovnice s uvedenými podmienkami je tvaru

$$y= \cos 3x -2 \sin 3x.$$

$\clubsuit$

Poznámka. Všimnite si dodatočných podmienok pre nájdenie jediného riešenia v posledných dvoch príkladoch. V prvom príklade sú to začiatočné podmienky, tak ako boli definované v tejto kapitole, kdežto v druhom príklade sa jedná o tzv. okrajové podmienky, ktoré sme spomínali napríklad v príklade (3.1). Hlbšie skúmanie týchto okrajových podmienok však presahuje rámec týchto skrípt a my sa obmedzíme len na príklady, kde bude treba nájsť také riešenie, ktoré uvedené podmienky spĺňa. -

Príklad 24. Ak $x = 4$ a $\frac{dx}{dt} =6$ pre $t=0$, nájdime riešenie rovnice

$$\frac{d^2 x}{dt} +9x = 0,$$

ktorá reprezentuje kmitanie istej struny.

Riešenie: Požadované riešenie, ktoré reprezentuje knitanie danej struny je tvaru

$$x= 4 \cos 3t +2 \sin 3t.$$

$\clubsuit$

Poznámka. Každý pohyb, ktorý sa dá popísať diferenciálnou rovnicou v tvarem $\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$, kde $\omega$ je konštanta, popisuje jednoduchý harmonický pohyb. Teraz si povieme niečo o riešení LDR s konštantnými koeficientami s pravou stranou. V predchádzajúcej kapitole sme metódou variácie konštánt ukázali, ako nájsť partikulárne riešenie LDR s pravou stranou, ak máme fundamentálny systém riešení LDR bez pravej strany. Túto metódu môžeme samozrejme použiť aj v prípade LDR s konštantnými koeficientami a výsledok je hneď zrejmý: ako už vieme z predchádzajúcej kapitoly všeobecné riešenie LDR $n$-tého rádu s konštantnými koeficientami bude

$$y = Y + c_1 y_1 + c_2 y_2 + \dots + c_n y_n,$$

kde $Y$ je partikulárne riešenie a $y_1,y_2,\dots,y_n$ je fundamentálny systém riešení prislúchajúcej LDR bez pravej strany ( $c_1, c_2, \dots, c_n \in \mathcal{R}$). Teraz si ukážeme ešte inú metódu na hľadanie partikulárneho riešenia, ktorá je v niektorých prípadoch efektívnejšia, ako metóda variácie konštánt. Táto metóda sa volá metóda neurčitých koeficientov. Dá sa použiť iba v prípade, že sa jedná o LDR s konštantnými koeficientami typu

$$L_n(y) =f(x),$$ (3.23)

kde $L_n(y) = y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1} y^\prime + a_n y$ a pravá strana je tvaru:
$f(x)= e^{\alpha x} \left ( P_n(x) \cos \beta x+ Q_m(x) \sin \beta x \right )$
alebo je súčtom funkcií takéhoto tvaru (v takom prípade použijeme ešte princíp superpozície - viď predchádzajúca kapitola). V tomto prípade $\alpha,\ \beta$ sú konštanty a $P_n(x), Q_m(x)$ sú polynómy $n$-tého resp. $m$-tého stupňa. Partikulárne riešenie (3.23) hľadáme potom v tvare:

$$Y(x) = x^r e^{\alpha x} \left ( P_l(x) \cos \beta x + Q_l(x) \sin \beta x \right ),$$

kde $r$ je násobnosť koreňa $\alpha + \beta i$ charakteristickej rovnice prislúchajúcej k danej LDR (ak $\alpha + i \beta$ nie je koreň charakteristickej rovnice volíme $r=0$). $P_l(x),\ Q_l(x)$ sú polynómy stupňa $l$ s neurčitými koeficientami, pričom $l$ je rovné väčšiemu z čísel $m$ a $n$, teda:

$$P_l(x)=A_0x^l + A_1x^{l-1} + \dots + A_l; \quad Q_l(x) =B_0x^l + B_1x^{l-1} + \dots + B_l.$$

Tieto neurčité koeficienty je možné nájsť zo systému lineárnych rovníc, ktoré dostaneme porovnaním koeficientov zhodných členov v diferenciálnej rovnici, do ktorej sme dosadili takéto partikulárne riešenie. -

Príklad 25. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

$$\frac{d^2y}{dx^2} +\frac{dy}{dx}-6y =f(x),$$

kde a) $f(x)=x+1,$ b) $f(x)=(x-1)e^{2x}.$

Riešenie: LDR bez pravej strany je tvaru: $\frac{d^2y}{dx^2} +\frac{dy}{dx}-6y =0$. Charakteristická rovnica $r^2 +r-6=0$ má korene $r_1 =2$, $r_2 =-3$. Preto riešenie rovnice bez pravej strany je tvaru

$$y = c_1 e^{2x} +c_2 e^{-3x}.$$

Na nájdenie partikulárneho riešenia použijeme metódu neurčitých koeficientov.
a) $f(x)=x+1$.
V tomto prípade pre pravú stranu platí:
$\alpha = \beta =0$, $P_n(x)=x+1$. Keďže číslo $\alpha + i \beta= 0+i0$ nie je koreňom charakteristického polynómu (korene sú $2$ a $-3$), tak $r=0$ a partikulárne riešenie navrhneme v tvare lineárnej funkcie $Y(x)=ax +b$, kde $a,b$ sú zatiaľ neznáme koeficienty, ktoré treba vypočítať. Pre takto navrhnuté riešenie máme: $Y^\prime(x)=a$, $Y^{\prime\prime}(x)=0$. Dosadíme takto navrhnuté riešenie a jeho derivácie do LDR s pravou stranou. Máme:

$$a-6(ax+b)=x+1.$$

Porovnaním koeficientov polynómu na ľavej strane s koeficientami polynómu na pravej strane dostávame
$-6a=1$,    $a-6b =1$ a z toho máme $a=-\frac{1}{6}$,     $b=-\frac{7}{36}$.
Preto je partikulárne riešenie tvaru:

$$Y(x) = -\frac{1}{6}x-\frac{7}{36}.$$

Všeobecné riešenie rovnice s touto pravou stranou je preto:

$$y =c_1 e^{2x} +c_2 e^{-3x} -\frac{1}{6}x-\frac{7}{36}$$

pre $c_1, c_2 \in \mathcal{R}$.

b) $f(x)=(x-1)e^{2x}.$

V tomto prípade pre pravú stranu platí:
$\alpha = 2,\ \beta =0$, $P_n(x)=x-1$. Keďže číslo $\alpha + i \beta= 2+i0$ teraz je koreňom charakteristického polynómu a to jednonásobným, tak $r=1$ a partikulárne riešenie navrhneme v tvare $Y(x)=x(ax +b)e^{2x}$, kde $a,b$ sú koeficienty, ktoré treba vypočítať. Opäť nájdeme derivácie navrhnutého riešenia: $Y^\prime(x) = (2ax+b+2ax^2+2bx)e^{2x},\ Y^{\prime\prime}(x) = (2a+8ax+4b+4ax^2+4bx)e^{2x}$ a dosadíme do LDR s pravou stranou. Máme:

$$(2a +8ax+4b+4ax^2+4bx+2ax+b+2ax^2+2bx-6ax^2-6bx)e^{2x}= (x-1)e^{2x}.$$

Pretože funkcia $e^{2x}$ je vždy kladná, máme:

$$2a +8ax+4b+4ax^2+4bx+2ax+b+2ax^2+2bx-6ax^2-6bx= x-1.$$

Teraz porovnaním koeficientov polynómu na ľavej strane s koeficientami polynómu na pravej strane dostávame $4a+2a-6a =0$ $8a+4b+2a+2b-6b=1$ $2a+4b+b=-1$ a z toho máme $a=\frac{1}{10},\ \ b=-\frac{6}{25}$. Preto partikulárne riešenie je tvaru:

$$Y(x)=x( \frac{1}{10}x-\frac{6}{25})e^{2x}.$$

Všeobecné riešenie rovnice s touto pravou stranou je preto:

$$y =c_1 e^{2x} +c_2 e^{-3x} +(\frac{1}{10}x^2-\frac{6}{25}x)e^{2x}$$

pre $c_1, c_2 \in \mathcal{R}$. $\clubsuit$

-

Príklad 26. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

$$9y^{\prime\prime}-6y^\prime +y =f(x),$$

kde a) $f(x)=\sin \frac{x}{3},$ b) $f(x)=e^{\frac{x}{3}}.$

Riešenie: LDR bez pravej strany je tvaru: $9 y^{\prime \prime}-6y^\prime +y =0.$
Charakteristická rovnica $9r^2 -6r+1=0$ má jeden dvojnásobný koreň $r_1 =r_2 = \frac13$. Preto riešenie rovnice bez pravej strany je tvaru

$$y = c_1 e^{\frac{x}{3}} +c_2 xe^{\frac{x}{3}}.$$

a) $f(x)=\sin \frac{x}{3}$.
V tomto prípade pre pravú stranu platí:
$\alpha =0,\ \beta =\frac13$, $P_n(x)=0$, $Q_m(x)=1$. Keďže číslo $\alpha + i \beta= 0+\frac13i$ nie je koreňom charakteristického polynómu (dvojnásobný koreň je $\frac13 +0i$ ), tak $r=0$ a partikulárne riešenie navrhneme v tvare $Y(x)=a\sin \frac{x}{3} +b\cos \frac{x}{3}$, kde $a,b$ sú zatiaľ neznáme koeficienty, ktoré treba vypočítať. (Zdôrazňujeme, že navrhnuté riešenie musí obsahovať obe goniometrické funkcie "$\sin$"aj "$\cos$".) Pre takto navrhnuté riešenie máme: $Y^\prime(x)=\frac{a}{3}\cos \frac{x}{3}-\frac{b}{3} \sin \frac{x}{3}, \ Y^{\prime\prime}(x) = -\frac{a}{9}\sin \frac{x}{3}-\frac{b}{9} \cos \frac{x}{3}$. Dosadíme takto navrhnuté riešenie a jeho derivácie do LDR s pravou stranou. Máme:

$$9\( -\frac{a}{9}\sin \frac{x}{3}-\frac{b}{9} \cos \frac{x}... ...3}\)+ a\sin \frac{x}{3} +b\cos \frac{x}{3}=\sin \frac{x}{3}$$

Porovnaním koeficientov pri funkcii "$\sin$"a "$\cos$"na ľavej strane s koeficientami polynómu na pravej strane dostávame $-a+2b+a=1,\ \ -b -2a+b =0$ a z toho máme $a=0,\ \ b=\frac{1}{2}.$
Preto partikulárne riešenie je tvaru:

$$Y(x) = \frac12 \cos \frac{x}{3}.$$

Všeobecné riešenie rovnice s touto pravou stranou je preto:

$$y =c_1 e^{\frac{x}{3}}+ c_2 x e^{\frac{x}{3}}+\frac12 \cos \frac{x}{3},$$

pre $c_1, c_2 \in \mathcal{R}$.

b) $f(x)=e^{\frac{x}{3}}.$

V tomto prípade pre pravú stranu platí:
$\alpha = \frac13 ,\ \beta =0$, $P_n(x)=1$. Keďže číslo $\alpha + i \beta= \frac13 +i0$ teraz je koreňom charakteristického polynómu a tento koreň je dvojnásobný, tak $r=2$ a partikulárne riešenie navrhneme v tvare $Y(x)=a x^2e^{\frac{x}{3}}$, kde $a$ je neznámy koeficient. Opäť nájdeme derivácie navrhnutého riešenia: $Y^\prime(x) = (2ax+\frac{a}{3} x^2)e^{\frac{x}{3}},\ Y^{\prime\prime}(x) = (2a+\frac{4a}{3}x+\frac{a}{9}x^2)e^{\frac{x}{3}}$ a dosadíme do LDR s pravou stranou. Máme:

$$(18a +12ax+ax^2-12ax-2ax^2+ax^2)e^{\frac{x}{3}}=e^{\frac{x}{3}}.$$

Pretože funkcia $e^{\frac{x}{3}}$ je vždy kladná, máme:

$$18a +12ax+ax^2-12ax-2ax^2+ax^2=1.$$

Teraz porovnaním koeficientov polynómu na ľavej strane s koeficientami polynómu na pravej strane dostávame $a-2a+a =0,\ \ 12a-12a =0, \ 18a =1.$ a z toho máme $a=\frac{1}{18}$. Preto partikulárne riešenie je tvaru:

$$Y(x)= \frac{1}{18}x^2e^{\frac{x}{3}}.$$

Všeobecné riešenie rovnice s touto pravou stranou je preto:

$$y =c_1 e^{\frac{x}{3}} +c_2x e^{-\frac{x}{3}} + \frac{1}{18}x^2 e^{\frac{x}{3}}$$

pre $c_1, c_2 \in \mathcal{R}$. $\clubsuit$

-

Príklad 27. V elektrickom okruhu so striedavým prúdom je pri vhodne použitých jednotkách kapacity kondenzátora, ohmického odporu indukčnej cievky a samoindukčnosti hodnota elektrického prúdu v čase $t$ je daná diferenciálnou rovnicou:

$$\frac{d^2x}{dt^2} +4 \frac{dx}{dt} +3x = \sin t .$$

Nájdime všeobecné riešenie.

Riešenie: Homogénna rovnica je tvaru $\frac{d^2x}{dt^2} +4 \frac{dx}{dt} +3x =0$, jej charakteristický polynóm je $r^2 + 4r +3=0$, jeho korene sú $r_1=-1, \ r_2 =-3$. Riešenie homogénnej rovnice je

$$x= c_1 e^{-t} + c_2 e^{-3t},$$

kde $c_1, c_2 \in \mathcal{R}$. Pre pravú stranu platí:
$\alpha =0,\ \beta =1$, $P_n(t)=0$, $Q_m(t)=1$. Keďže číslo $\alpha + i \beta= 0+i$ nie je koreňom charakteristického polynómu , tak $r=0$ a partikulárne riešenie navrhneme v tvare $X(t)=a\sin t +b\cos t$, kde $a,b$ sú zatiaľ neznáme koeficienty, ktoré treba vypočítať. Pre takto navrhnuté riešenie máme: $X^\prime(t)=a \cos t-b \sin t, \ X^{\prime\prime}(t) =-a \sin t -b \cos t$. Dosadíme takto navrhnuté riešenie a jeho derivácie do LDR s pravou stranou. Máme:

$$-a \sin t -b \cos t+4(a \cos t-b \sin t) +3( a \sin t + b \cos t) = \sin t.$$

Porovnaním koeficientov pri funkcii "$\sin$"a "$\cos$"na ľavej strane s koeficientami polynómu na pravej strane dostávame
$-a -4b+3a=1,\ \ -b +4a +3b =0$ a z toho máme
$a=\frac{1}{10},\ \ b=-\frac{1}{5}.$
Preto partikulárne riešenie je tvaru:

$$X(t) = \frac{1}{10} \sin t -\frac15 \cos t.$$

Všeobecné riešenie je teda tvaru

$$x(t)= c_1 e^{-t} + c_2 e^{-3t} + \frac{1}{10}( \sin t -2 \cos t).$$

V špeciálnom prípade budú konštanty $c_1,\ c_2$ určené pomocou počiatočných podmienok, napríklad ak vieme hodnotu elektrického prúdu v čase $t=0$ a ako sa mení. Všimnime si ale, že oba tieto členy $c_1 e^{-t}$ aj $c_2 e^{-3t}$ pre $t\rightarrow \infty$ konvergujú k nule a to pomerne rýchlo. Takže pre akékoľvek hodnoty počiatočných podmienok stacionárny stav (ustálený stav pre $t\rightarrow \infty$) je tvaru $\frac{1}{10}( \sin t -2 \cos t)$. $\clubsuit$