Základné neurčité integrály

Nasleduje zoznam neurčitých integrálov, niektorých dôležitých funkcií. Platnosť väčšiny nasledovných vzťahov vyplýva z analogických vzťahov pre derivácie. Nasledujúce vzťahy platia v každom intervale, v ktorom sú funkcie definované.

1. $\int x^{a}\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + c$, ak $a \in \mathcal{R}\setminus \{-1\}$.
2. $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln \vert x\vert + c$.
3. $\int e^{x}\,dx = e^{x} + c$.
4. $\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + c$, ak $a \in (0,1) \cup (1,\infty)$.

5. 
   $\int \sin x\,dx = -\cos x + c$, 		 $\int \cos x\,dx = \sin x + c$.
   

6. 
   $\int \frac{1}{\cos^{2} x}\,dx = \mbox{tg}\,x + c$,		$\int \frac{1}{\sin^{2} x}\,dx = -\mbox{cotg}\,x + c$.
   

7. $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \left\{ \begin{array}{l} \mbox{arctg}\,x + c\\ -\mbox{arccotg}\,x + c. \end{array} \right.$
8. $\int \frac{dx}{1-x^2} = \frac12 \ln \vert \frac{1+x}{1-x} \vert + c$. ^1.1
9. $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \left\{ \begin{array}{l} \arcsin x + c\\ -\arccos x + c. \end{array} \right.$
10. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \ln \vert x + \sqrt{x^2 + a}\vert + c$.

11. 
    $\int \sinh x\,dx = \cosh x + c$, 		 $\int \cosh x\,dx = \sinh x + c$.
    

12. 
    $\int \frac{dx}{\cosh^{2} x} = \mbox{tgh}\,x + c$,		$\int \frac{dx}{\sinh^{2} x} = -\mbox{cotgh}\,x + c$.
    

13. $\int \frac{f^{'}(x)}{f(x)}\,dx = \ln \vert f(x)\vert + c$.

-

Príklad 3. Vypočítame integrály

a) $\int (6x^5 - 2x^3 + 11x^2 + 3)\,dx$ b) $\int \frac{3x^2 + 4x + 2}{5x}\,dx$ c) $\int (3\sin x - 2 \cosh x)\,dx$


d) $\int \mbox{tg}\,^2 x\,dx$ e) $\int \mbox{cotg}\,x\,dx$ f) $\int (2^x - 3^{1-x})\,dx$


g) $\int \frac{dx}{\sqrt{5x^2-10}}$ h) $\int \frac{dx}{4+4x^2}$ i) $\int \frac{5}{\sqrt{3-3x^2}}\,dx$

Riešenie: V riešení budeme používať základné vzorce pre neurčité integrály a pravidlo (1.3). Čitateľovi odporúčame v každom kroku určiť príslušný vzorec, resp. pravidlo.
a)

$$\int (6x^5 - 2x^3 + 11x^2 + 3)\,dx = 6 \int x^5 \,dx - 2 \int x^3 \,dx + 11 \int x^2 \,dx + 3 \int x^0 \,dx =$$

$$= 6 \frac{x^6}{6} - 2 \frac{x^4}{4} + 11 \frac{x^3}{3} + 3 \frac{x^1}{1}= x^6 - \frac{x^4}{2} + \frac{11}{3}x^3 + 3 x + c.$$

b)

$$\int \frac{3x^2 + 4x + 2}{5x}\,dx = \frac{3}{5} \int x\,dx + \frac{4}{5}\int x^0 \,dx + \frac{2}{5}\int \frac{1}{x}\,dx =$$

$$=\frac{3}{10} x^2 + \frac{4}{5} x + \frac{2}{5} \ln \vert x\vert + c.$$

c)

$$\int (3\sin x - 2 \cosh x)\,dx = -3\cos x - 2 \sinh x + c.$$

d)

$$\int \mbox{tg}\,^2 x\,dx = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\,dx = \int \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}\,dx =$$

$$= \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right)\,dx = \mbox{tg}\,x - x + c.$$

e)

$$\int \mbox{cotg}\,x\,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int \frac{(\sin x)'}{\sin x}\,dx = \ln \vert\sin x\vert + c.$$

f)

$$\int (2^x - 3^{1-x})\,dx = \int 2^x\,dx - 3 \int \left( \fra... ...}{\ln 2} + \frac{3}{\ln 3} \left( \frac{1}{3} \right)^{x} + c.$$

g)

$$\int \frac{dx}{\sqrt{5x^2-10}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \fr... ...2-2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln\vert x + \sqrt{x^2-2}\vert + c.$$

h)

$$\int \frac{dx}{4+4x^2} = \frac14 \int \frac{dx}{1+x^2} = \frac14 \mbox{arctg}\,x + c.$$

i)

$$\int \frac{5}{\sqrt{3-3x^2}}\,dx = \frac{5}{\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \arcsin x + c.$$

$\clubsuit$