Integrovanie racionálnych funkcií

Pri integrovaní racionálnych funkcií využívame známy fakt (pozri [H]):

Každá racionálna funkcia sa dá vyjadriť ako súčet mnohočlena a rýdzo racionálnej funkcie.

-

Príklad 15. Vypočítame integrál $\int \frac{x^8+11x^6+15x^4+3x^3+12x^2-18x+27}{x^5+9x^3}\,dx$.

Riešenie:

1. Danú racionálnu funkciu rozložíme na súčet mnohočlena a rýdzo racionálnej funkcie. Rozklad menovateľa na súčin je $x^3(x^2+9)$. Dostávame
   
   $$\frac{x^8+11x^6+15x^4+3x^3+12x^2-18x+27}{x^5+9x^3} =$$
   
   
   
   
   $$= x^3 + 2x + \frac1x - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3} - \frac{4x-5}{x^2+9}.$$
   
   

2. Integrál mnohočlena je jednoduchý $\int (x^3 + 2x)\,dx = \frac{x^4}{4} + x^2 + c$.
3. Integrály prvých troch zlomkov sú jednoduché, integrál posledného je
   
   $$\int \frac{4x-5}{x^2+9}\,dx = 2 \int \frac{2x}{x^2+9}\,dx ... ...2+9} = 2 \ln(x^2+9) - \frac53 \mbox{arctg}\,\frac{x}{3} + c.$$
   
   

4. Výsledok je súčtom všetkých integrálov
   
   $$\int \frac{x^8+11x^6+15x^4+3x^3+12x^2-18x+27}{x^5+9x^3}\,dx =$$
   
   
   
   
   $$= \frac{x^4}{4} + x^2 + \ln \vert x\vert + \frac2x - \frac{... ...x^2} - 2 \ln(x^2+9) + \frac53 \mbox{arctg}\,\frac{x}{3} + c.$$
   
   

$\clubsuit$