Integrovanie rýdzo racionálnych funkcií

Každú rýdzo racionálnu funkciu môžeme vyjadriť v tvare súčtu elementárnych zlomkov ([H], časť 6.4.2). Preto k integrovaniu rýdzo racionálnych funkcií stačí vedieť integrovať všetky štyri typy elementárnych zlomkov.
a) Integrál prvého typu zlomkov prevedieme jednoduchou úpravou na základný integrál:

$$\int \frac{a}{x-r}\,dx \stackrel{(t=x-r)}{=} a\int \frac{dt}{t} = a\ln\vert t\vert + c = a\ln\vert x-r\vert + c.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 11. Vypočítame $\int\frac{3}{2-5x}\,dx$.

Riešenie:

$$\int\frac{3}{2-5x}\,dx = -\frac35 \int \frac{dx}{x-\frac25}... ...rac25)}{=} -\frac35 \ln\left \vert x-\frac25\right \vert + c.$$

$\clubsuit$

b) Integrál druhého typu zlomkov riešime analogicky. Pre $n>1$

$$\int \frac{a}{(x-r)^n}\,dx \stackrel{(t=x-r)}{=} a\int t... ...rac{t^{-n+1}}{-n+1} + c = \frac{a}{(1 - n)(x-r)^{n-1}} + c.$$

-

Príklad 12. Vypočítame $\int\frac{8}{(2x+3)^4}\,dx$.

Riešenie:

$$\int\frac{8}{(2x+3)^4}\,dx = 8 \int \frac{dx}{2^4(x+\frac32)^4} \stackrel{(t=x+\frac32)}{=} \frac12 \int t^{-4}\,dt =$$

$$= \frac12\cdot \frac{t^{-3}}{-3} + c = -\frac{1}{6(x+\frac32)^3} + c.$$

$\clubsuit$

c) Tretí typ zlomku $\frac{ax+b}{x^2+px+q}$, kde $p^2-4q<0$, integrujeme nasledovne:

1. Algebraickými úpravami rozdelíme zlomok na dva zlomky, ktorých menovatele sú zhodné s menovateľmi pôvodného zlomku. Čitateľ prvého je lineárna funkcia, ktorá je číselným násobkom derivácie menovateľa a čitateľ druhého je číslo:
   
   $$\frac{ax+b}{x^2+px+q} = \frac{\frac{a}{2}(2x+p)}{x^2+px+q} + \frac{b-\frac{ap}{2}}{x^2+px+q}.$$
   
   

2. Prvý zlomok integrujeme nasledovne:
   
   $$\int \frac{\frac{a}{2}(2x+p)}{x^2+px+q}\,dx \stackrel{(t=x^... ...c{a}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{a}{2}\ln(x^2 + px + q) + c.$$
   
   
   Prečo netreba v poslednom logaritme písať absolútnu hodnotu?
3. Integrál druhého zlomku úpravami a substitúciou prevedieme na $\int \frac{dt}{t^2+1}$.

-

Príklad 13. Vypočítame integrál $\int \frac{3x-1}{x^2+4x+10}\,dx$.

Riešenie:

1. Najskôr upravíme integrovaný zlomok na súčet dvoch zlomkov s popísanými vlastnosťami
   
   $$\frac{3x-1}{x^2+4x+10} = \frac{\frac32(2x+4)}{x^2+4x+10} + \frac{-7}{x^2+4x+10}.$$
   
   

2. Počítame prvý integrál
   
   $$\frac32 \int \frac{2x+4}{x^2+4x+10}\,dx \stackrel{(t=x^2+4x... ...=} \frac32 \int \frac{dt}{t} = \frac32 \ln\vert t\vert + c =$$
   
   
   
   
   $$=\frac32 \ln(x^2+4x+10) + c.$$
   
   

3. Počítame druhý integrál
   
   $$\int \frac{-7}{x^2+4x+10}\,dx = -7 \int\frac{dx}{x^2+4x+10} = -7 \int \frac{dx}{(x+2)^2+6} =$$
   
   
   
   
   $$=-\frac76 \int\frac{dx}{\left( \frac{x+2}{\sqrt{6}} \right)... ...+2}{\sqrt{6}})}{=} -\frac76 \int \frac{\sqrt{6}dt}{t^2+1} =$$
   
   
   
   
   $$= -\frac{7}{\sqrt{6}} \mbox{arctg}\,t + c = -\frac{7}{\sqrt{6}} \mbox{arctg}\,\frac{x+2}{\sqrt{6}} + c.$$
   
   
   Výsledok je súčtom obidvoch integrálov:
   
   $$\int \frac{3x-1}{x^2+4x+10}\,dx = \frac32 \ln(x^2+4x+10) - \frac{7}{\sqrt{6}} \mbox{arctg}\,\frac{x+2}{\sqrt{6}} + c.$$
   
   

$\clubsuit$

d) Integrály zo zlomkov štvrtého typu $\frac{ax+b}{(x^2+px+q)^n}$ pre $n>1$ sa počítajú zložitou rekurentnou metódou. Pre výsledné vzťahy pozri [E], časť Integrovanie racionálnych funkcií. -

Príklad 14. Vypočítame integrál $\int \frac{4x^3-14x^2+28x-7}{(x-2)^2(x^2-2x+5)}\,dx$.

Riešenie: Úlohu budeme riešiť v niekoľkých krokoch.

1. Integrovanú rýdzo racionálnu funkciu rozložíme na elementárne zlomky
   
   $$\frac{4x^3-14x^2+28x-7}{(x-2)^2(x^2-2x+5)} = \frac{2}{x-2} + \frac{5}{(x-2)^2} + \frac{2x-3}{x^2-2x+5}.$$
   
   

2. Integrujeme prvý integrál
   
   $$\int \frac{2}{x-2}\,dx = 2 \ln \vert x-2\vert + c.$$
   
   

3. Integrujeme druhý integrál
   
   $$\int \frac{5}{(x-2)^2}\,dx = -\frac{5}{x-2} + c.$$
   
   

4. Podobne ako v predchádzajúcom príklade integrujeme tretí integrál. Podrobnosti necháme na čitateľa.
   
   $$\int \frac{2x-3}{x^2-2x+5}\,dx = \int \left( \frac{2x-2}{x^2-2x+5} - \frac{1}{x^2-2x+5}\right)\,dx =$$
   
   
   
   
   $$=\ln(x^2-2x+5) - \frac14 \int \frac{dx}{(x-1)^2 + 4} =$$
   
   
   
   
   $$=\ln(x^2-2x+5) - \frac14 \int \frac{dx}{\left(\frac{x-1}{2}\right)^2+1} =$$
   
   
   
   
   $$= \ln(x^2-2x+5) - \frac12 \mbox{arctg}\,\left( \frac{x-1}{2} \right) + c.$$
   
   

5. Sčítame všetky vypočítané integrály
   
   $$\int \frac{4x^3-14x^2+28x-7}{(x-2)^2(x^2-2x+5)}\,dx =$$
   
   
   
   
   $$= 2 \ln \vert x-2\vert - \frac{5}{x-2} + \ln(x^2-2x+5) - \frac12 \mbox{arctg}\,\left( \frac{x-1}{2} \right) + c.$$
   
   

$\clubsuit$