Orientácia krivky

Nech ${\bf p}={\bf p}(t)$, $t \in J$ je parametrizácia krivky $k$. Nech $P(t_1)$ a $P(t_2)$ sú dva body krivky $k$, ktoré odpovedajú hodnotám $t_1$ a $t_2$ z intervalu $J$ takým, že $t_1<t_2$. Na danej krivke $k$ môžeme zvoliť dve navzájom opačné orientácie. V jednej orientácii je bod $P(t_1)$ pred bodom $P(t_2)$ (zapisujeme $P(t_1) \prec P(t_2)$), v druhej orientácii je bod $P(t_2)$ pred bodom $P(t_1)$ ( $P(t_2) \prec P(t_1)$). Hovoríme, že krivka je orientovaná súhlasne s parametrizáciou, ak platí

$$P(t_1) \prec P(t_2) \Leftrightarrow t_1 < t_2$$ (5.15)

a krivka je orientovaná nesúhlasne s parametrizáciou, ak platí

$$P(t_1) \succ P(t_2) \Leftrightarrow t_1 < t_2.$$ (5.16)

Krivka $k$ s jedným z usporiadaní (5.15), (5.16) sa nazýva orientovaná krivka. -

Príklad 8. Pre polkružnicu s polomerom $r=1$ so stredom v začiatku, ktorá leží v 1. a 2. kvadrante máme dve parametrizácie

$${\bf p}_1=\cos t \; {\bf i}+\sin t \; {\bf j}, \qquad t \in \langle 0,\pi\rangle ,$$ (5.17)

$${\bf p}_2=t \; {\bf i}+\sqrt{1-t^2} \; {\bf j}, \qquad t \in \langle -1,1\rangle .$$ (5.18)

Pri parametrizácii (5.17) je bod $A=[1,0]$ obrazom parametra $t=0$, bod $B=[0,1]$ obrazom parametra $t=\pi /2$ a bod $C=[-1,0]$ obrazom parametra $t=\pi$. V orientácii súhlasnej s touto parametrizáciou je $A \prec B \prec C$. Pri parametrizácii (5.18) je bod $A$ obrazom parametra $t=1$, bod $B$ obrazom parametra $t=0$ a bod $C$ obrazom parametra $t=-1$. V orientácii súhlasnej s touto parametrizáciou je $C \prec B \prec A$. $\clubsuit$