Neurčité integrály


\begin{displaymath}
\int \sin mx \cos nx\,dx, \qquad \int \sin mx \sin nx\,dx,
\qquad \int \cos mx \cos nx\,dx
\end{displaymath}

kde $m$ a $n$ sú prirodzené čísla prevedieme na jednoduché integrály pomocou trigonometrických vzťahov

\begin{displaymath}
\sin \alpha \sin \beta =
\frac12 \left( \cos (\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right),
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\cos \alpha \cos \beta =
\frac12 \left( \cos (\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right),
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\sin \alpha \cos \beta =
\frac12 \left( \sin (\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)
\right).
\end{displaymath}

-


Príklad 18. Vypočítame $\int \sin 2x \cos 5x\,dx$.


Riešenie: Použijeme vyššie uvedený vzorec pre $\alpha = 2x$ a $\beta = 5x$.

\begin{displaymath}
\int \sin 2x \cos 5x\,dx =
\frac12 \int \left( \sin (-3x) + \sin 7x \right)\,dx =
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
= - \frac12 \int ( \sin 3x + \sin 7x )\,dx =
\frac16 \cos 3x - \frac{1}{14} \cos 7x + c.
\end{displaymath}

$\clubsuit$