Dĺžka rovinnej krivky

Dĺžku rovinnej krivky zadanej rovnicami (5.43), (5.44) a (5.48) môžeme vypočítať pomocou vzťahov

$s(t)=$	$\int _{t_0}^t \sqrt{(\dot x(t))^2+(\dot y(t))^2}\, dt,$
$s(x)=$	$\int _{x_0}^x \sqrt{1+\dot f(x)^2}\, dx,$
$s(\varphi)=$	$\int _{\varphi _0}^\varphi \sqrt{f^2(\varphi)+\dot f(\varphi)^2} \, d\varphi.$

-

Príklad 20. Vypočítajme dĺžku polkružnice s polomerom $r=1$ so stredom v začiatku, ktorá leží v 1. a 2. kvadrante.

Riešenie: K dispozícii máme dve parametrizácie (5.17) a (5.18) zadanej polkružnice. Potom

$$s(t)=\int _{0}^\pi \sqrt {(-\sin t)^2+(\cos t)^2}\; dt = \int _{0}^\pi 1\; dt = \pi,$$

alebo

$$s(t)=\int _{-1}^1 \sqrt {1+(-{\displaystyle \frac{1}{2} \fra... ...laystyle \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}} \; dt=[\arcsin t]_{-1}^1=\pi.$$

$\clubsuit$ -

Príklad 21. Vypočítajme dĺžku logaritmickej špirály $\varrho=e^{\varphi}$ medzi bodmi, ktoré zodpovedajú parametrom $\varphi =0$ a $\varphi=\pi$.

Riešenie: Využijeme posledný z trojice vzorcov a vypočítame

$$s(\varphi)=\int _{0}^\pi \sqrt {(e^\varphi)^2+(e^\varphi)^2}\, d\varphi =\sqrt 2 (e^\pi -1).$$

$\clubsuit$