Vlastné vektory

Pre dané vlastné číslo $\lambda _0$ matice A odpovedajúce vlastné vektory určíme ako nenulové riešenie homogénnej sústavy

$${\bf (A - \lambda_0 I_n)x = 0. }$$ (5.3)

Z toho, ako bolo $\lambda _0$ určené vieme, že takéto riešenie bude existovať a bude ich nekonečne veľa. Ak $\lambda _0$ je komplexné číslo, matica ${\bf A - \lambda_0 I_n }$ má aj komplexné prvky. Sústavami lineárnych rovníc s komplexnými koeficientami sme sa však nezaoberali, a preto budeme určovať vlastné vektory iba pre reálne vlastné čísla.

Príklad 3. Určte vlastné vektory matice $\left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right)$ .

Riešenie: Vieme, že vlastné čísla matice sú $\lambda_1 = -1 , \lambda _2 = 4$. Označme

$${ {\bf v^{(\it 1)}} = (v_1^{(\it 1)} , v_2^{(\it 1)})^T }$$

vlastný vektor odpovedajúci vlastnému číslu $\lambda _1$. Potom ${\bf v^{(\it 1)}}$ je nenulovým riešením sústavy (5.3) t. j. sústavy

$${ { \left( \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ 3 & 3 \\ \end{... ...ft( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right), } }$$

teda vlastne sústavy rovníc

$${ \begin{array}{rrrrrr} 2 v_1^{(\it 1)} & + & 2 v_2^{(\it ... ...1^{(\it 1)} & + & 3 v_2^{(\it 1)} & = & 0 &. \\ \end{array}}$$

Ekvivalentná sústava je

$$\begin{array}{rrrrr} v_1^{(\it 1)} & + & v_2^{(\it 1)} & = & 0. \\ \end{array}$$

Preto vlastný vektor je napríklad vektor ${\bf v^{(\it 1)}} = (1 , -1)^T$.
Označme

$${ {\bf v^{(\it 2)}} = (v_1^{(\it 2)} , v_2^{(\it 2)})^T }$$

vlastný vektor odpovedajúci vlastnému číslu $\lambda _2 = 4$. Jeho zložky určíme zo sústavy rovníc

$${ \begin{array}{rrrrrr} -3 v_1^{(\it 2)} & + & 2 v_2^{(\it... ...1^{(\it 2)} & - & 2 v_2^{(\it 2)} & = & 0 &. \\ \end{array}}$$

Riešením je napríklad ${\bf v^{(\it 2)}} = (2 , 3)^T$. $\clubsuit$

Vlastné vektory majú ďalšie zaujímavé, z hľadiska matematiky a jej aplikácií, aj užitočné vlastnosti.
Vlastné vektory odpovedajúce rôznym vlastným číslam matice A sú lineárne nezávislé. Ak matica A typu $n\times n$ má $n$ rôznych reálnych vlastných čísiel $\lambda_1 , \ldots , \lambda _n$, tak odpovedajúce vlastné vektory ${\bf v^{(\it 1)} , \ldots ,v^{(\it n)} }$ sú lineárne nezávislé, a teda tvoria bázu ${{\bf R}}^n$. Táto vlastnosť sa využíva pri diagonalizácii matice. Každému vlastnému číslu symetrickej matice odpovedá $p$ lineárne nezávislých vlastných vektorov. Pritom $p$ je násobnosť tohto vlastného čísla.

Pre nesymetrickú maticu može byť situácia zložitejšia.

Príklad 4. Nech

$${ {\bf A = } \left( \begin{array}{rrr} -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 \\ \end{array} \right). }$$

Potom $p_{\bf A} (\lambda )$ $=\lambda ^3 + \lambda ^2 - 21 \lambda -45$. Vlastné čísla sú $\lambda _1 =5 ,\lambda _2 = \lambda _ 3 = -3$. Pre $\lambda_1 =5$ je odpovedajúci vlastný vektor $(1,2,-1)^T$. Pre $\lambda_2 = \lambda_3 = -3$ existujú dva lineárne nezávislé vlastné vektory a síce $(-2,1,0)^T , (3,0,1)^T$.
Ale matica ${\bf B=} \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ má charakteristický polynóm $p_{\bf B}(\lambda) = \lambda^2$. Jej vlastné čísla sú $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$. Odpovedajúci vlastný vektor určíme z podmienky $0 v_1 + 1 v_2 = 0$. Teda vlastný vektor je tvaru $(v_1 , 0 )^T$ pre každé $v_1 \neq 0$. V tomto prípade je počet lineárne nezávislých vlastných vektorov menší ako násobnosť odpovedajúceho vlastného čísla. $\clubsuit$