Vlastné čísla

Nutná a postačujúca podmienka preto, aby sústava (5.2) mala nenulové riešenie je, aby $\vert{\bf A - \lambda I_n}\vert = 0$. To je podmienka, z ktorej budeme určovat vlastné čísla.

Príklad 1. Určte vlastné čísla matice $\left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right)$ .

Riešenie: Odpovedajúca homogénna sústava je tvaru

$${ { \left( \begin{array}{ccc} 1-\lambda & 2 & \\ 3 & 2... ...eft( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) } }$$

a podmienka $\vert{\bf A - \lambda I_n}\vert = 0$ je, aby

$${ { \left\vert \begin{array}{cc} 1- \lambda & 2 \\ 3 & 2 - \lambda \\ \end{array} \right\vert } = 0. }$$

Po určení determinantu dostávame pre $\lambda$ rovnicu

$${ (1-\lambda)(2-\lambda)-6=0 \Leftrightarrow \lambda^2 - 3\lambda -4 = 0. }$$

Jej korene sú $\lambda_1 = -1 , \lambda _2 = 4$. To sú teda aj vlastné čísla danej matice. $\clubsuit$

Podmienka $\vert{\bf A - \lambda I_n}\vert = 0$ sa pomocou charakteristického polynómu matice A

$${ {p_{\bf A}( \lambda )} \equiv { \vert{\bf A - \lambda I_n}\vert } }$$

formuluje aj v tvare

$$p_{\bf A} (\lambda ) = 0.$$

Platí, že $p_{\bf A} (\lambda )$ je polynóm $n$-tého stupňa s reálnymi koeficientami premennej $\lambda$. Odtiaľ vidno, že každá štvorcová matica typu $n\times n$ má práve $n$ vlastných čísiel $\lambda_1 , \ldots , \lambda _n$. Pritom každé vlastné číslo počítame toľkokrát, koľko je jeho násobnosť ako koreňa polynómu $p_{\bf A} (\lambda )$.

Napriek tomu, že matica A má reálne koeficienty, môžu byť niektoré jej vlastné čísla, keďže sú to korene $p_{\bf A} (\lambda )$, komplexnými číslami.

Príklad 2. Určte vlastné čísla matice $\left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)$ .

Riešenie: Ľahko zistíme, že $p_{\bf A} (\lambda )$= $\lambda ^2 + 1$, a preto vlastné čísla sú $\lambda _1 = i , \lambda _2 = -i$ .

$\clubsuit$

Ak ${\bf A } = {\bf A^T}$ (teda matica A je symetrická matica), tak jej vlastné čísla sú reálne. Vlastné čísla diagonálnej matice a trojuholníkovej matice sú rovné diagonálnym prvkom matice. Matica A je regulárna práve vtedy, ak jej vlastné čísla sú rôzne od nuly.