Cvičenia

1. Upravte nasledujúce matice do Gaussovho tvaru, a potom do redukovaného Gaussovho tvaru:

$$(a)\ \ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 2 \\ ... ... & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0\end{array}\right) \ \ ;$$

$$(c)\ \ \left( \begin{array}{rrrrr} 2 & 4 & 8 & -6 & -4 \\ -2... ...& 1 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right) \ \ .$$

2. Zistite, či nasledujúce matice $\bf A$ a $\bf B$ sú ekvivalentné (oprite sa o poslednú vetu v podkapitole 3.1.3):

$$(a) \ \ {\bf A}=\left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & -2 \\ 2 & ... ...rray}{rrr} -1 & -3 & -1 \\ 3 & 9 & -6 \end{array}\right) \ \ ;$$

$$(b) \ \ {\bf A}=\left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & -2 \\ 2 & ... ...{array}{rrr} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -7 \end{array}\right) \ \ ;$$

$$(c) \ \ {\bf A}=\left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -... ... 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \ \ .$$

3. Vypočítajte hodnost' nasledujúcich matíc:

$$(a) \ \ \left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\... ... 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \ \ ;$$

$$(c) \ \ \left( \begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 2 & -1 \\ 4 & 1 &... ... 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \ \ .$$

4. Vypočítajte hodnotu maticového výrazu, ak $\bf A$, $\bf B$ sú matice z úlohy 2(b):

(a) $2{\bf A}-3{\bf B}$

(b) ${\bf B}^T{\bf B}-{\bf AA}^T$

(c) ${\bf A}.{\bf B}^T-{\bf B}.{\bf A}^T$

5. Zistite, ktoré z nasledujúcich matíc sú regulárne:

$$(a) \ \ \left( \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 1 \\ 3 & 4 & -3\\... ...} 2 & 1 & -1 \\ -3 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \ .$$

6. Metódou z podkapitoly 3.1.7 (úprava matice na redukovaný Gaussov tvar) vypočítajte inverzné matice k nasledujúcim maticiam:

$${\bf A}= \left( \begin{array}{rrr} -2 & -4 & 0 \\ 1 & 2 & 1\... ...r} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 4 & 5 & 3 \end{array}\right) \ .$$

7. Kombináciami rôznych metód vypočítajte determinanty nasledujúcich matíc:

$${\bf A}= \left( \begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 4\\ ... ... 1 & 6\\ 5 & 1 & 2 & 3\\ 3 & 5 & 1 & 3 \end{array}\right)\ .$$

8. Pomocou determinantov vypočítajte inverzné matice k nasledujúcim maticiam:

$${\bf A}= \left( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 6\\ 3 & -1 & 4 \... ...2 & 7 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \\ 5 & -2 & -3 \end{array}\right)\ .$$

9. Kontrolné otázky:

(a) Je pravda, že ak štvorcová matica $\bf A$ je v Gaussovom tvare, tak $\bf A$ je trojuholníková matica? Je pravdivé opačné tvrdenie?

(b) Je pravda, že pre každé dve štvorcové matice $\bf A$, $\bf B$ rovnakého typu platí: $({\bf A}+{\bf B})^2={\bf A}^2+2{\bf AB}+{\bf B}^2$ ?

(c) Je pravda, že inverzná matica k trojuholníkovej matici (ak vôbec existuje) je opät' trojuholníková matica?

(d) Je pravda, že pre každú štvorcovú maticu $\bf A$ a každú konštantu $d$ platí: $\vert d{\bf A}\vert=d.\vert{\bf A}\vert$ ? (Pozor -- toto nie je pravidlo D2 z 3.1.9!)