Dôležité vzt'ahy medzi uvedenými pojmami

Okrem vzt'ahov uvedených v predchádzajúcich častiach upozorníme ešte na nasledujúce súvislosti maticových operácií s determinantom a inverznou maticou.

Nech $\bf A$, $\bf B$ sú štvorcové matice rovnakého typu. Potom $\vert{\bf AB}\vert=\vert{\bf A}\vert\vert{\bf B}\vert$, čiže determinant súčinu matíc je rovný súčinu príslušných determinantov. (Pozor -- analogické pravidlo neplatí pre súčet matíc!) Ďalej, $\vert{\bf A}^T\vert=\vert{\bf A}\vert$, t.j. transponovaním matice sa determinant nemení. Napokon, ak $\vert{\bf A}\vert\ne 0$, tak $\vert{\bf A}^{-1}\vert=1/\vert{\bf A}\vert$.

Zakončíme azda najdôležitejším tvrdením, ktoré zhrňuje vlastnosti ekvivalentné regulárnosti matíc. Nech $\bf A$ je štvorcová matica typu $n\times n$. Nasledujúce vlastnosti sú ekvivalentné: (1) Matica $\bf A$ je regulárna. (2) Matica $\bf A$ je ekvivalentná s jednotkovou maticou ${\bf I}_n$. (3) Matica $\bf A$ má hodnost' rovnú $n$. (4) Determinant matice $\bf A$ je rôzny od nuly: $\vert{\bf A}\vert\ne 0$. (5) K matici $\bf A$ existuje inverzná matica. (6) Pre každú $n\times 1$ maticu $\bf b$ má sústava rovníc ${\bf A}{\bf x}={\bf b}$ jediné riešenie.