LDR prvého rádu

Lineárnou diferenciálnou rovnicou (LDR) prvého rádu s pravou stranou nazývame ODR tvaru

$$y'+ p(x) y = q(x) \,,$$ (3.10)

kde $p,q$ sú funkcie premennej $x$ definované na intervale $I$ a $q(x)$ je rôzne od nuly pre každé $x\in I$. Ak platí $q(x) =0$ pre každé $x\in I$, potom rovnici

$$y'+ p(x) y = 0 \,,$$ (3.11)

hovoríme homogénna lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu. (alebo lineárna ODR 1. rádu bez pravej strany.)

Veta 3..4   Ak sú funkcie $p(x)$ a $q(x)$ spojité na intervale $(a,b)$, potom funkcia

$$y=\left[ \int q(x) e^{\int p(x)\,dx}dx +c\right] e^{-\int p(x)\, dx},$$ (3.12)

kde $c$ je ľubovoľná konštanta, je riešením diferenciálnej rovnice (3.10) na intervale $(a,b)$. Každým bodom množiny $(a,b) \times(-\infty,\infty)$ prechádza jediná krivka rovnice (3.10), ktorú dostaneme vhodnou voľbou konštanty $c$.

Funkciu (3.12) nazývame všeobecným riešením diferenciálnej rovnice (3.10). Diferenciálnu rovnicu (3.10) môžeme riešiť aj bez použitia vzťahu (3.12) metódou variácie konštánt takto:
Najskôr nájdeme riešenie príslušnej homogénnej diferenciálnej rovnice (3.11). Je to separovateľná diferenciálna rovnica, ktorú vieme už riešiť z predchádzajúcej časti tejto kapitoly. Jej všeobecné riešenie je tvaru:

$$y = c e^{-\int p(x)\,dx} \,.$$

Partikulárne riešenie rovnice (3.10) budeme hľadať v tvare

$$y=c(x) e^{-\int p(x)\,dx} \,,$$ (3.13)

kde neznámu funkciu $c(x)$ určíme tak, aby funkcia (3.13) bola riešením diferenciálnej rovnice (3.10).

Poznámka. Existujú aj iné metódy riešenia diferenciálnej rovnice (3.10). -

Príklad 15. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

$$\sin x y' + 2y \cos x = 1 \,.$$

Riešenie: V štandartnej forme je uvedená rovnica tvaru

$$y' +(2 \mbox{cotg}\,x) y =\frac{1}{\sin x} \,.$$

Funkcie $p(x)=2 \mbox{cotg}\,x$ a $q(x)=\frac{1}{\sin x}$ sú spojité na intervaloch $(k\pi,(k+1) \pi)$, $k$ je celé číslo. Na týchto intervaloch hľadáme riešenie diferenciálnej rovnice. Riešenie homogénnej diferenciálnej rovnice je potom tvaru

$$y = c e^{\int -2 \mbox{cotg}\,x \,dx} \,.$$

Jednoduchým výpočtom integrálu dostávame

$$\int -2 \mbox{cotg}\,x \,dx = -2 \ln (\sin x) \,,$$

a preto všeobecné riešenie homogénnej rovnice je tvaru

$$y =c e^{-2\ln \sin x} = c\frac{1}{ \sin^2 x} \,.$$

Metódou variácie konštánt pre neznámu funkciu $c(x)$ dostávame

$$\frac{c'(x)}{ \sin^2 x} - c(x)\frac{2 \cos x}{ \sin^3 x} ... ...{\cos x}{\sin^2 x}\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\sin x} \,,$$

z čoho po úprave máme

$$c'(x) = \sin x \,,$$

a teda všeobecné riešenie tejto diferenciálnej rovnice je

$$c(x) = -\cos x + C \,.$$

Všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice s pravou stranou dostaneme dosadením funkcie $c(x)$ do riešenia typu (3.13). Máme

$$y = \frac{-\cos x +c}{\sin^2 x},$$

čo je všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice. $\clubsuit$

-

Príklad 16. Nájdime riešenie diferenciálnej rovnice

$$y' -\frac{2}{x+1} y =(x+1)^3,$$ (3.14)

ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke $y(0)=1$.

Riešenie: Funkcia $p(x)=\frac{2}{x+1}$ je spojitá na množine $(-\infty,-1)\cup (-1,\infty)$ a funkcia $q(x)= (x+1)^3$ je spojitá na celom $\mathcal{R}$. Riešenie diferenciálnej rovnice hľadáme na intervale $(-\infty,-1)$ resp. $(-1,\infty)$. Najprv nájdeme riešenie diferenciálnej rovnice bez pravej strany:

$$y' -\frac{2}{x+1} y =0 \,,$$ (3.15)

Jedno z riešení tejto diferenciálnej rovnice je funkcia $y = 0$. Ak predpokladáme, že $y\neq0$, môžeme diferenciálnu rovnicu upraviť na tvar:

$$\frac{y'}{y} -\frac{2}{x+1} = 0 \,,$$

čo je diferenciálna rovnica so separovanými premennými, ktorej riešenie je

$$\ln\vert y\vert -2\ln\vert x+1\vert =c_1 \,,$$

čiže

$$\ln\frac{\vert y\vert}{(x+1)^2} =\ln c_2 \,, \quad\hbox{kde } c_2 > 0 \,,$$

z čoho máme

$$\vert y\vert = c_2(x+1)^2 , \quad \hbox{a teda } y=c_3(x+1)^2,\ c_3 \neq 0.$$

Ak uvážime, že aj funkcia $y = 0$ je riešením homogénnej diferenciálnej rovnice (3.15), dostaneme, že všeobecným riešením rovnice (3.15) je

$$y = c(x+1)^2, \quad x\in (-1,\infty),\ c\in \mathcal{R}.$$

Riešenie diferenciálnej rovnice (3.14) hľadáme metódou variácie konštánt v tvare:

$$y=c(x)(x+1)^2.$$ (3.16)

Platí:

$$y' = c'(x)(x+1)^2 + 2c(x)(x+1) \,.$$

Dosadením do pôvodnej rovnice (3.14) dostaneme:

$$c'(x)(x+1)^2 + 2c(x)(x+1) -\frac{2c(x)(x+1)^2}{(x+1)} =(x+1)^3$$

a po úprave máme

$$c'(x) = x+1 \,,$$

z čoho je

$$c(x) = \int (x+1) \,dx = \frac{(x+1)^2}{2} + C \,,$$

kde $C$ je ľubovoľné číslo. Výsledok je správny, aj keď integrál vyjadríme ako

$$c(x) =\int x+1 \,dx = \frac{x^2}{2} + x + C \,,$$

kde $C$ bude zas reálne číslo a budeme dostávať tie isté hodnoty $c(x)$ pre iné hodnoty $C$. Dosadením do (3.16) máme všeobecné riešenie rovnice (3.14):

$$y=\frac{(x+1)^4}{2} +C(x+1)^2.$$

Pre riešenie, ktoré vyhovuje danej začiatočnej podmienke $y(0)=1$, dostaneme $C=\frac{1}{2}$. Preto riešenie rovnice (3.14), ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke $y(0)=1$, je

$$y = \frac{1}{2}(x+1)^4 + \frac{1}{2}(x+1)^2, \quad x \in (-1,\infty) \,.$$

$\clubsuit$