ODR so separovateľnými premennými

Diferenciálnu rovnicu tvaru
\begin{displaymath}
p(x) +q(y) y' = 0,
\end{displaymath} (3.4)

kde $p(x),\ q(y)$ sú funkcie, nazývame ODR prvého rádu so separovanými premennými. ODR (3.4) sa často píše v tvare
\begin{displaymath}
p(x)dx +q(y) dy=0.
\end{displaymath} (3.5)

Veta 3..2   Nech je funkcia $p(x)$ spojitá na intervale $I$ a funkcia $q(y)$ spojitá na intervale $K$. Potom každé riešenie ODR (3.4) na intervale $I_1\subset I$ má tvar
\begin{displaymath}
\int p(x) \,dx+\int q(y) \,dy =c,
\end{displaymath} (3.6)

kde $c$ je ľubovoľná konštanta. Každá diferencovateľná funkcia na intervale $I_1$, ktorá je implicitne určená rovnicou (3.6), je riešením ODR (3.4) na intervale $I_1$.

Veta 3..3   Nech je funkcia $p(x)$ spojitá na intervale $(a,b)$ a $q(y)$ je zas spojitá na intervale $(c,d)$, pričom $q(y) \neq 0$ pre každé $y\in(c,d)$. Potom každým bodom oblasti $D=(a,b)\times (c,d)$ prechádza práve jedna integrálna krivka diferenciálnej rovnice (3.4).

Osobitným prípadom ODR (3.4) je rovnica typu

\begin{displaymath}
y'= f(x), \ x \in I \,.
\end{displaymath}

Každé riešenie tejto ODR na intervale $I$ je tvaru

\begin{displaymath}
y = \int f(x) \,dx + c \,,
\end{displaymath}

kde $c$ je ľubovoľná konštanta. Ak je funkcia $f$ spojitá na intervale $I$, potom podľa vyššie uvedených viet každým bodom $(x_0,y_0)$, kde $ x_0 \in I$ a $ y_0$ je ľubovoľné reálne číslo, prechádza jediné riešenie ODR tvaru

\begin{displaymath}y=y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t) dt.\end{displaymath}

-


Príklad 10. Nájdime riešenie diferenciálnej rovnice

\begin{displaymath}
y'= \frac{1}{x^2}\cos\( \frac{1}{x}\),
\end{displaymath}

pre ktoré platí

\begin{displaymath}
y\( \frac{2}{\pi}\)=2.
\end{displaymath}


Riešenie: V našom prípade je funkcia $f(x)= \frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}$ spojitá na množine $ (-\infty,0) \cup(0,\infty)$. Riešenie tejto diferenciálnej rovnice spolu s podmienkou $y(\frac{2}{\pi}) =2$ je tvaru

\begin{displaymath}
y
=
2+\int_{\frac{2}{\pi}}^{x} \frac{1}{t^2}\cos\frac{1}{t}\,dt
=
3-\sin\frac{1}{x}.
\end{displaymath}

(Na výpočet integrálu sme použili substitúciu $ \frac{1}{t} = v$.) $\clubsuit$

-


Príklad 11. Riešme diferenciálnu rovnicu

\begin{displaymath}
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y} \,.
\end{displaymath}


Riešenie: Máme

\begin{displaymath}
\int y \,dy = \int x \,dx \,,
\end{displaymath}

z toho po zintegrovaní a úprave oboch strán dostávame

\begin{displaymath}
y^2 = x^2 + 2c \,,
\end{displaymath}

čo je všeobecné riešenie pre danú ODR. Na obrázku môžeme vidieť jednotlivé riešenia pre rôzne hodnoty $c$.

Obrázok: Riešenia rovnice $\frac{dy}{dx} = \frac xy$
\begin{figure}
\centerline{\protect{\psfig{figure=a-obr2.eps,height=5cm}}}
\end{figure}

$\clubsuit$

-


Príklad 12. Riešme ODR

\begin{displaymath}
\frac{dy}{dx}= -\frac{y}{x} \,.
\end{displaymath}


Riešenie: Keďže ide opäť o rovnicu so separovanými premennými, jej všeobecné riešenie je tvaru

\begin{displaymath}
\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x} \,,
\end{displaymath}

a teda

\begin{displaymath}
\ln y =-\ln x +c \quad \hbox{z čoho je}\quad \ln xy =c \,,
\end{displaymath}

a preto

\begin{displaymath}
xy =a \quad (\hbox{kde } a = e^c).
\end{displaymath}

Jednotlivé integrálne krivky teraz majú tvar, aký možno vidieť na obrázku 3.3

Obrázok: Riešenia rovnice $\frac{dy}{dx}= -\frac{y}{x} $
\begin{figure}
\centerline{\protect{\psfig{figure=a-obr1.eps,height=5cm}}}
\end{figure}

$\clubsuit$

Diferenciálnu rovnicu tvaru

\begin{displaymath}
p_1(x)p_2(y) + q_1(x) q_2(y) y' = 0 \,,
\end{displaymath} (3.7)

kde $p_1(x),\ q_1(x)$ sú spojité funkcie na intervale $(a,b)$, $p_2(y),\ q_2(y)$ sú spojité funkcie na intervale $(c,d)$, nazývame separovateľnou ODR prvého rádu. ODR (3.7) možno písať aj v tvare
\begin{displaymath}
p_1(x)p_2(y)dx +q_1(x)q_2(y) dy = 0 \,.
\end{displaymath} (3.8)

Ak $q_1(x)p_2(y) \neq 0$ na množine $I=(a,b)\times(c,d)$, dá sa diferenciálna rovnica (3.7) upraviť na rovnicu so separovanými premennými:

\begin{displaymath}\frac{p_1(x)}{q_1(x)} + \frac{q_2(y)}{p_2(y)} y' =0,\ \ (x,y) \in I.\end{displaymath}

Ak $q_1(x)p_2(y) = 0$ na množine $I=(a,b)\times(c,d)$, potom ODR (3.7) nie je ekvivalentná s ODR (3.4) -


Príklad 13. Riešme ODR

\begin{displaymath}
y\cos x -y'\sin x = 0 \,.
\end{displaymath}


Riešenie: Uvedená ODR je tvaru (3.7), kde $p_1(x)=\cos x$, $q_1(x)=-\sin x$, $p_2(y) =y$, $q_2(y)=1$. Pretože všetky funkcie sú spojité v $\mathcal{R}$, je $I=(-\infty,\infty)\times(-\infty,\infty)$. Rovnica $p_2(y)=y=0$ má jediný koreň $y = 0$. Rovnica $q_1(x)=0$ čiže $ -\sin x=0$ má nekonečne mnoho riešení $ x= k \pi$, $k$ je celé číslo. Priamky $y = 0$ a $ x= k \pi$ rozdeľujú rovinu na nekonečne mnoho oblastí tvaru

\begin{displaymath}
I'_k =(k \pi, (k+1)\pi) \times (0,\infty)\,,
\end{displaymath}

alebo

\begin{displaymath}
I''_k =(k\pi, (k+1)\pi) \times (-\infty,0) \,.
\end{displaymath}

Na týchto čiastočných intervaloch je naša rovnica ekvivalentná s rovnicou

\begin{displaymath}
\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{1}{y} y' = 0.
\end{displaymath}

Toto je už ODR so separovanými premennými a jej riešenie je dané implicitne rovnicou

\begin{displaymath}
\ln\vert\sin x\vert - \ln\vert y\vert = c_1 \,,
\end{displaymath}

kde $c_1$ je konštanta. Z toho potom

\begin{displaymath}
\left\vert\frac{\sin x}{y}\right\vert = e^{c_1} \,.
\end{displaymath}

Ak položíme $e^{c_1} =\frac{1}{c_2}>0$, máme

\begin{displaymath}\vert y\vert =c_2 \vert\sin x \vert. \end{displaymath}

Pre interval $I'_k$ dostaneme riešenia

\begin{displaymath}
y = c_2 \vert\sin x\vert \,,\quad c_2 > 0 \,.
\end{displaymath}

Pre interval $I''_k$ dostaneme riešenia

\begin{displaymath}
y = -c_2\vert\sin x\vert \,,\quad c_2 > 0 \,.
\end{displaymath}

Keďže $\lim_{x\rightarrow k\pi} y =0$, $\lim_{x\rightarrow k\pi} y' =\pm
c_2$, riešenia sa dajú rozšíriť tak, aby v bodoch $k\pi$ mali deriváciu $c_2$. Ak vezmeme funkciu $y=c \sin x$, kde $c\neq 0$, $ x\in (-\infty,\infty),$ táto spĺňa uvedené podmienky a zároveň je riešením ODR. Takýmto riešením je aj funkcia $y = 0$. Všetky riešenia ODR sú preto $y=c \sin x$, kde $ c\in \mathcal{R}.$ $\clubsuit$

-


Príklad 14. Tekutina sa zohrieva v nádobe, ktorá má konštantnú teplotu $180^{\circ}$C. Predpokladá sa, že rýchlosť zvyšovania teploty tekutiny je úmerná $(180-\Theta)$, kde $\Theta\,{}^\circ$C je teplota tekutiny v čase $t$ minút. Ak sa teplota tekutiny zvýši z $0\,{}^{\circ}$C na $120\,{}^{\circ}$C za $5$ minút, nájdite teplotu tekutiny o ďalších $5$ minút.


Riešenie: Rýchlosť zvyšovania sa teploty je $\frac{d\Theta}{dt}$. Z úlohy vieme, že:

\begin{displaymath}
\frac{d\Theta}{dt} = k(180-\Theta)\,,
\end{displaymath}

kde $k$ je konštanta. Toto je diferenciálna rovnica prvého rádu, ktorú vieme ľahko vypočítať.

\begin{displaymath}
\int \frac{-1}{180-\Theta} \,d\Theta = -\int k \,dt \,.
\end{displaymath}

Pre $\Theta < 180$ máme:
$\displaystyle \ln (180-\Theta) = -kt+c\,,$      
$\displaystyle 180-\Theta = A e^{-kt}, \quad\hbox{kde } A=e^c,$      
$\displaystyle \Theta =180-Ae^{-kt}.$     (3.9)

Ak $t=0$, je $\Theta=0$, potom $ 0=180-A$ a teda $A=180$. Preto $ \Theta = 180(1-e^{-kt})$. Pretože $\Theta =120$ keď $t=5$, máme

\begin{displaymath}
120 =180(1-e^{-5k}) \quad\hbox{a teda } e^{-5k} = \frac{1}{3}.
\end{displaymath}

Keď $t=10$, vtedy

\begin{displaymath}
\vbox{
\hbox{$\Theta = 180(1-e^{-10k})$\,,}
\hbox{$\Th...
... = 180(1-(\frac{1}{3})^2)$\,,}
\hbox{$\Theta = 160$\,.}
}
\end{displaymath}

Záver: teplota tekutiny o ďalších $5$ minút bude $160\,{}^{\circ}$C. $\clubsuit$

Poznámka. Existujú ešte aj iné typy diferenciálnych rovníc 1. rádu, napríklad homogénna alebo Bernoulliho, ktoré sa vhodnou substitúciou dajú previesť na separovateľné rovnice. Záujemcovi o tieto typy rovníc odporúčame napríklad knižku [4].