Obsah rovinnej oblasti

Všeobecný princíp pre výpočet obsahu rovinnej oblasti je

Predpokladajme, že každá priamka $x = r,\quad r \in \langle a,b\rangle$ má s danou obasťou spoločnú úsečku dĺžky $l(r)$. Potom obsah oblasti v intervale $\langle a,b \rangle$ vypočítame integrálom

$$P = \int\limits_a^b l(r)\,dr.$$ (2.15)

Z tohoto princípu vyplývajú nasledujúce vzťahy.
Obsah rovinnej oblasti ohraničenej grafom $f \geq 0$ (priamkami $x = a$, $x=b$) a osou $o_x$ v intervale $\langle a,b \rangle$ vypočítame pomocou integrálu

$$P = \int\limits_a^b f(x)\,dx.$$ (2.16)

Obsah oblasti ohraničenej grafmi funkcií $f \geq g$ (a priamkami $x = a$, $x=b$) v intervale $\langle a,b \rangle$ vypočítame pomocou integrálu

$$P = \int\limits_a^b (f(x) - g(x))\,dx.$$ (2.17)

Ak je krivka daná parametrickými rovnicami

$$x = \varphi(t),\ y = \psi(t),\qquad t \in \langle \alpha,\beta \rangle,$$ (2.18)

tak obsah oblasti ohraničenej krivkou vypočítame pomocou integrálu

$$P = \left\vert\int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t) \varphi'(t)\,dt\right\vert.$$ (2.19)

Poznámka 3. V niektorých prípadoch je oblasť ohraničená len grafom funkcie a osou $o_x$, v iných prípadoch je potrebné hranicu doplniť časťou priamky $x = a$ a (alebo) $x=b$. Poznamenajme, že posledný vzorec dostaneme substitúciou parametrického vyjadrenia (2.18) premenných $x,\ y$ do vzorca (2.16).

Tento vzorec platí aj pre krivky, ktoré sú grafmi funkcií (vtedy druhú časť hranice tvorí os $o_x$) aj pre uzavreté krivky.

Poznámka 4. Pri riešení príkladov na geometrické použitie určitého integrálu je väčšinou dôležité načrtnúť si obrázok situácie. Preto to odporúčame čitateľovi urobiť v každom príklade a cvičení tejto kapitoly.

-

Príklad 18. Nájdeme obsah oblasti ohraničenej parabolou $x^2 = 4y$ a krivkou $y = \frac{8}{x^2+4}$.

Riešenie: Najskôr nájdeme $x$-ové súradnice priesečníkov oboch kriviek (hranice intervalu integrácie). Porovnaním $y$-ových súradníc bodov obidvoch kriviek dostávame rovnicu $\frac{x^2}{4} = \frac{8}{x^2+4}$, ktorá po úprave vedie k rovnici

$$x^4 + 4 x^2 - 32 = 0.$$

Túto substitúciou $t=x^2$ prevedieme na kvadratickú a vyriešime. Dostaneme reálne riešenia $x_1 = -2$ a $x_2 = 2$. Zo spojitosti a porovnaním hodnôt obidvoch funkcií dosadením niektorého čísla intervalu integrácie (napr. $0$) dostávame, že $\frac{8}{x^2+4} \geq \frac{x^2}{4}$ pre všetky $x \in \langle -2,2 \rangle$. Preto

$$P = \int\limits_{-2}^2 \left( \frac{8}{x^2+4} - \frac{x^2}... ...\frac{x}{2} - \frac{x^3}{12}\right]_{-2}^2 = 2 \pi - \frac43.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 19. Nájdeme obsah oblasti ohraničenej parabolou $y = 3 - 2x - x^2$, jej dotyčnicou v bode $[2,-5]$ a osou $o_y$.

Obrázok 2.3: $y = 3 - 2x - x^2$ s dotyčnicou

Riešenie: Spomínaná dotyčnica má rovnicu $y = 7 - 6x$ (oddôvodnite!). V intervale integrácie $\langle 0,2 \rangle$ platí $7 - 6x \geq 3 - 2x - x^2$, preto

$$P = \int\limits_0^2 \left(7 - 6 x - (3 - 2 x - x^2)\right)\,dx = \int\limits_0^2 (x^2 - 4 x + 4)\,dx = \frac83.$$

$\clubsuit$

Niekedy je potrebné pre výpočet interval integrácie rozložiť na dve časti. -

Príklad 20. Vypočítame obsah oblasti ohraničenej priamkou $y = x + 1$, grafom funkcie $y = \cos x$ a osou $o_x$.

Riešenie: Priamka $y = x + 1$ pretína $o_x$ v bode $[-1,0]$, graf funkcie $y = \cos x$ pretne os $o_x$ v bode $[\frac{\pi}{2},0]$. Priamka a graf sa pritom pretínajú v bode $[0,1]$. To znamená, že oblasť, ktorej obsah počítame je v intervale $\langle -1,0 \rangle$ zhora ohraničená grafom priamky $y = x + 1$ a v intervale $\langle 0,\frac{\pi}{2} \rangle$ grafom funkcie $y = \cos x$ (načrtnite obrázok!). Preto hladaný oblasti plochy počítame ako súčet integrálov

$$P = \int\limits_{-1}^0 (x+1)\,dx + \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = \frac32.$$

$\clubsuit$

Ak v rovniciach kriviek ohraničujúcich oblasti je premenná $x$ funkciou premennej $y$ zameníme ich pozície vo vzťahu (2.17). -

Príklad 21. Vypočítame obsah oblasti ohraničenej ohraničenej dvojicou parabol $x = -2y^2$ a $x = 1 - 3y^2$.

Riešenie: V rovniciach obidvoch parabol je súradnica $x$ funkciou súradnice $y$. Obidve paraboly sa pretínajú v bodoch $[-2,-1]$ a $[-2,1]$ a ich osi sú rovnobežné s osou $o_x$. Nezávislá premenná $y$ je ohraničená v intervale $\langle -1,1 \rangle$. V tomto intervale platí $-2y^2 \leq 1 - 3y^2$, preto

$$P = \int\limits_{-1}^1 \left( 1 - 3 y^2 - (- 2 y^2) \right)\,dy = \frac43.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 22. Vypočítame obsah oblasti ohraničenej krivkou určenou implicitne rovnicou $(y - x)^2 = x^3$ a priamkou $x = 1$.

Riešenie: Ľavá strana rovnice je nezáporná, preto $x \in \langle 0,1 \rangle$. Pre každú hodnotu $r$ z tohoto intervalu existujú práve dva body na danej krivke, ktorých $x$-ová súradnica má danú hodnotu. Ich $y$-ové súradnice sú $y_1 = r - r\sqrt{r}$ a  $y_2 = r + r\sqrt{r}$. Preto priamka $x = r$ pretína danú oblasť v úsečke dĺžky $2r\sqrt{r}$ a podľa vzťahu (2.15) platí

$$P = \int\limits_0^1 2 r \sqrt{r}\,dr = \frac45.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 23. Vypočítame obsah elipsy určenej parametrickými rovnicami $x = a~\cos t,\ y = b \sin t,\quad t \in \langle 0,2 \pi \rangle$.

Riešenie: Použijeme vzťah (2.19) pre $\varphi(t) = a~\cos t$ a  $\psi(t) = b \sin t$.

$$P = \int\limits_0^{2 \pi} b \sin t \vert-a \sin t\vert\,dt = \pi a~b.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 24. Vypočítame obsah oblasti ohraničenej asteroidou určenou rovnicou $\left( \frac{x}{a} \right)^{\frac23} + \left( \frac{y}{a} \right)^{\frac23} = 1$.

Riešenie: Uzavretú krivku ohraničujúcu oblasť najskôr vhodne parametrizujeme $x = a~\cos^3 t,\ y = a~\sin^3 t$ (overte!). Pretože obidve funkcie v parametrizácii majú periodu $2 \pi$, body zodpovedajúce hodnotám parametra $t = r$ a $t = r + 2 \pi$ sú zhodné. Preto oblasť integrácie je interval $t \in \langle 0, 2 \pi \rangle$.

$$P = \int\limits_0^{2 \pi} a~\sin^3 t \vert a 3 \cos^2 t (-\... ...int\limits_0^{2 \pi} \sin^4 t \cos^2 t\,dt = \frac38 \pi a^2.$$

Pre výpočet posledného integrálu pozri Príklad 0. $\clubsuit$