Integrály s premennou hranicou

Vieme, že hodnota určitého integrálu závisí od dvoch činiteľov: od integrovanej funkcie a od intervalu, v ktorom integrujeme. V prípade, keď je integrovaná funkcia pevne daná a jedna z hraníc pevná a druhá pohyblivá, je výsledná hodnota funkciou druhej hranice. Uvažujme prípad, keď je dolná hranica pevná a horná pohyblivá (opačný prípad vedie k analogickým výsledkom).

Nech $f$ je spojitá funkcia v intervale $\langle a,b \rangle$ a nech $c \in \langle a,b \rangle$. Potom funkcia

$$F(x) = \int\limits_c^x f(t)\,dt$$

je tá primitívna funkcia k funkcii $f$ v intervale $\langle a,b \rangle$, pre ktorú platí $F(c) = 0$.

Z tohoto vyplývajú nasledujúce vzťahy

$$\frac{d}{dx} \left( \int\limits_c^x f(t)\,dt \right) = f(x),$$ (2.13)

ak $f$ je spojitá funkcia v intervale $\langle a,b \rangle$ a

$$f(x) = \int\limits_c^x f'(t)\,dt + f(c),$$ (2.14)

ak $f$ má deriváciu v intervale $\langle a,b \rangle$. -

Príklad 11. Nech $F(x) = \int\limits_x^0 \frac{\sin t}{1+t^2}\,dt$ a  $G(x) = \int\limits_0^{x^2} \cos t\,dt$. Vypočítame $\frac{dF}{dx}$ a $\frac{dG}{dx}$.

Riešenie: Úpravou a použitím vzťahu (2.13) dostávame

$$\frac{dF}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \int\limits_x^0 \frac{... ...0^x \frac{\sin t}{1+t^2}\,dt \right) = -\frac{\sin x}{1+x^2}.$$

V druhom príklade ide o deriváciu zloženej funkcie. Integrál je funkciou premennej $u=x^2$. Preto platí

$$\frac{dG}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \int\limits_0^{x^2} \c... ...t\,dt \right) \right) \cdot \left( \frac{du}{dx} \right) =$$

$$= \cos u~\cdot \frac{du}{dx} = \cos x^2 \cdot 2x = 2 x \cos x^2.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 12. Nájdeme tú primitívnu funkciu $F$ k funkcii $y = x\, \mbox{arctg}\,x$, pre ktorú platí $F(1) = \pi$.

Riešenie: Použijeme vzťah (2.14) a integráciu per partes.

$$F(x) = \int\limits_1^x t\, \mbox{arctg}\,t\,dt + \pi = \le... ...]_1^x - \frac12 \int\limits_1^x \frac{t^2}{1+t^2}\,dt + \pi =$$

$$= \frac12 x^2 \mbox{arctg}\,x - \frac12 \mbox{arctg}\,1 - \frac12 \left[ t - \mbox{arctg}\,t \right]_1^x +\pi =$$

$$= \frac12 x^2 \mbox{arctg}\,x - \frac{\pi}{8} -\frac12 (x - \mbox{arctg}\,x - 1 + \frac{\pi}{4}) + \pi =$$

$$\frac12 (x^2 \mbox{arctg}\,x + \mbox{arctg}\,x - x + \frac{3 \pi}{2} + 1).$$

$\clubsuit$