Približné integrovanie funkcií

V mnohých prípadoch nemôžeme nájsť primitívnu funkciu $F(x)$ alebo je táto funkcia veľmi zložitá. Okrem toho v praxi môže byť funkcia $f(x)$ zadaná tabuľkou. Preto majú pre výpočet určitých integrálov veľký význam približné numerické metódy. Akúkoľvek metódu však môžeme použiť len vtedy, ak je funkcia $f(x)$ integrovateľná na danom intervale $\langle a,b \rangle$, kde $a<b$. Metódy numerického výpočtu hodnoty integrálu $\int_a^b
f(x)\,dx$ sa zakladajú na tom, že sa funkcia $f(x)$ nahradí jednoduchšou, aproximujúcou funkciou $\varphi (x)$ (napr. polynómom) a potom sa približne kladie

\begin{displaymath}
\int_a^b f(x)\,dx \approx \int _a^b \varphi (x)\,dx.
\end{displaymath}

V jednej z najjednoduchších metód sa krivka $f(x)$ nahradí na intervale $\langle a,b \rangle$ úsečkou priamky prechádzájúcej bodmi $[a,f(a)],
[b,f(b)]$, t.j. polynómom 1. stupňa.

Obrázok 2.6: Lichobežníkový vzorec.
\begin{figure}
\centerline{\protect{\psfig{figure=m-obr5.eps}}}
\end{figure}

Plocha útvaru ohraničeného zhora $f(x)$ sa nahradí približne plochou útvaru ohraničeného zhora spomínanou úsečkou. Dostávame vzorec
\begin{displaymath}
\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b)),
\end{displaymath} (2.28)

známy pod menom lichobežníkový vzorec. Ak položíme

\begin{displaymath}h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}\end{displaymath}

a rozdelíme interval $\langle a,b \rangle$ pomocou ekvidistantných bodov

\begin{displaymath}x_0=a, \quad x_i=x_0+ih \quad (i=1,2,\dots ,n-1), \quad x_n=b\end{displaymath}

na $n$ rovnakých častí, na každej z nich použijeme vzorec (2.28) a výsledky sčítame, dostaneme

\begin{displaymath}\int _a^b f(x)dx={\displaystyle \frac{h}{2}} (f(x_0)+f(x_1))+...
...(x_2))+ \dots +{\displaystyle \frac{h}{2}}
(f(x_{n-1})+f(x_n))\end{displaymath}

a po úprave všeobecný lichobežníkový vzorec
\begin{displaymath}
\int _a^b f(x)dx \approx {\displaystyle \frac{h}{2}} (f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+
\dots +2f(x_{n-1})+f(x_n)).
\end{displaymath} (2.29)

Pri inej často používanej metóde približného výpočtu hodnoty integrálu sa funkcia $f(x)$ nahradí polynómom 2. stupňa, ktorého grafom je parabola prechádzajúca troma bodmi $[a,f(a)],
[(a+b)/2,f((a+b)/2)], [b,f(b)]$.

Obrázok 2.7: Simpsonov vzorec.
\begin{figure}
\centerline{\protect{\psfig{figure=m-obr6.eps}}}
\end{figure}

Po integrovaní takého polynómu dostávame vzorec
\begin{displaymath}
\int _a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{3}(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)),
\end{displaymath} (2.30)

známy pod menom Simpsonov vzorec. Nech $n=2m$ je párne čí slo. Ak položíme

\begin{displaymath}h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}={\displaystyle \frac{b-a}{2m}}\end{displaymath}

a rozdelíme interval $\langle a,b \rangle$ pomocou ekvidistantných bodov

\begin{displaymath}x_0=a, \quad x_i=x_0+ih \quad (i=1,2,\dots ,2m-1), \quad x_{2m}=b\end{displaymath}

na $n=2m$ rovnakých častí, na každom z $m$ intervalov $<x_{2i},
x_{2i+2}>, i=0, 1, \dots , m-1$ použijeme vzorec (2.30) a výsledky sčítame, dostaneme po úprave všeobecný Simpsonov vzorec

\begin{displaymath}
\int _a^b f(x)dx
\approx {\displaystyle \frac{h}{3}}
(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)
+ \dots
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\dots +2f(x_{2m-2})+4f(x_{2m-1})+f(x_{2m})).
\end{displaymath} (2.31)

Ak je funkcia $f(x)$ daná analyticky (nie tabuľkou), treba ešte odhadnúť chybu, s akou sme integrál vypočítali. Nepresnosť

\begin{displaymath}R=\int _a^b f(x)dx - \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))\end{displaymath}

lichobežníkového vzorca (2.28) je

\begin{displaymath}R= - (b-a)\frac{h^2}{12}f''(x^*),\end{displaymath}

kde $x^* \in \langle a, b\rangle$. Nepresnosť Simpsonovho vzorca (2.30) je

\begin{displaymath}R= - (b-a)\frac{h^4}{180}f^{(4)}(x^*),\end{displaymath}

kde $x^* \in \langle a, b\rangle$. Vidíme teda, že výpočet hodnoty určitého integrálu podľa Simpsonovho vzorca je väčšinou presnejší. -


Príklad 1. Vypočítajme približnú hodnotu integrálu $\int _2^3
x/(1+x^2)dx$ podľa lichobežníkového vzorca (2.29) s $n=10$ a podľa Simpsonovho vzorca (2.31) s $n=2m=10$.


Riešenie: Budeme potrebovať tieto hodnoty $f(x)=x/(1+x^2)$:

$x$ $2,0$ $2,1$ $2,2$ $2,\ 3$ $2,4$ $2,5$ $2,6$
$f(x)$ $0,4$ $0,3882$ $0,3767$ $0,3657$ $0,3550$ $0,3448$ $0,3351$


$x$ $2,7$ $2,8$ $2,9$ $3,0$
$f(x)$ $0,3257$ $0,3167$ $0,3082$ $0,3$
Podľa lichobežníkového vzorca (2.29) dostaneme

\begin{displaymath}
\int_2^3 \frac{x}{1+x^2}dx
\approx
\frac{1}{20}(f(2)+2f(2,1)+2f(2,2)+ \dots +2f(2,9)+f(3)
= 0,34661.
\end{displaymath}

Podľa Simpsonovho vzorca (2.31) dostaneme

\begin{displaymath}
\int_2^3 \frac{x}{1+x^2}dx
\approx
\frac{1}{30}(f(2)+4f(2,1)+2f(2,2)+ \dots
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\dots +2f(2,8)+4f(2,9)+f(3)=0,34658.
\end{displaymath}

Presná hodnota integrálu je $0,34657$. $\clubsuit$