Cvičenia

8. Zistite, či je možné riešiť nasledovné sústavy rovníc Cramerovým pravidlom a ak áno, určte ich riešenie týmto pravidlom:
a)

$$\begin{array}{rrrrr} 5x_1 & + & 4x_2 & = & 2 \\ x_1 & - & 3x_2 & = & 7 \\ \end{array}$$

b)

$$\begin{array}{rrrrr} 3x_1 & + & 6x_2 & = & 1 \\ 2x_1 & + & 4x_2 & = & 0 \\ \end{array}$$

c)

$$\begin{array}{rrrrr} 2x_1 & - & 6x_2 & = & -2 \\ x_1 & - & 3x_2 & = & 4 \\ \end{array}$$

d)

$$\begin{array}{rrrrrrr} 8x_1 & - & 3x_2 & + & 6 & = & 0 \\ 4x_1 & + & x_2 & - & 1 & = & 0 \\ \end{array}$$

e)

$$\begin{array}{rrrrrrr} 3x_1 & - & 2x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ 2x_1 & + & 5x_2 & + & x_3 & = & 0 \\ \end{array}$$

f)

$$\begin{array}{rrrrr} 3x_1 & - & 4x_2 & = & 6 \\ x_1 & - & x_2 & = & 5 \\ \end{array}$$

g)

$$\begin{array}{rrrrr} 3x_1 & + & x_2 & = & 5 \\ 6x_1 & + & 2x_2 & = & 7 \\ \end{array}$$

h)

$$\begin{array}{rrrrr} 5x_1 & - & 4x_2 & = & 8 \\ 3x_1 & + & x_2 & = & 15 \\ \end{array}$$

ch)

$$\begin{array}{rrrrrr} 3,14x_1 & + & x_2 & = & 2 & \\ \pi x_1 & + & x_2 & = & 4 &. \\ \end{array}$$

9. Zistite, či je možné riešiť nasledovné sústavy rovníc Cramerovým pravidlom a ak áno, určte ich riešenie týmto pravidlom:
a)

$$\begin {array}{rrrrrrr} 2x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 & = & 9 ... ...= & -2 \\ 3x_1 & + & 2x_2 & + & 2x_3 & = & 7 \\ \end{array}$$

b)

$$\begin {array}{rrrrrrr} 2x_1 & + & 3x_2 & - & x_3 & = & 1 ... ...& x_3 & = & 2 \\ 3x_1 & + & 2x_2 & & & = & 5 \\ \end{array}$$

c)

$$\begin {array}{rrrrrrr} 3x_1 & - & 2x_2 & + & x_3 & = & 11... ... & 7 \\ 11x_1 & - & 4x_2 & - & 3x_3 & = & 10 \\ \end{array}$$

d)

$$\begin {array}{rrrrrrr} -x_1 & + & 3x_2 & - & 2x_3 & = & 7... ...= & -3 \\ 2x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & -1 \\ \end{array}$$

e)

$$\begin {array}{rrrrrrr} 2x_1 & + & 3x_2 & + & 5x_3 & = & 1... ... = & 5 \\ 3x_1 & + & 6x_2 & + & 4x_3 & = & 3 \\ \end{array}$$

f)

$$\begin {array}{rrrrrrr} x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 3 \... ...& = & 2 \\ 3x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 & = & 4 \\ \end{array}$$

g)

$$\begin {array}{rrrrrrrrr} 2x_1 & + & 3x_2 & - & x_3 & + & ... ... -2 \\ 3x_1 & & & + & 2x_3 & + & x_4 & = & 7 \\ \end{array}$$

h)

$$\begin {array}{rrrrrrrr} 2x_1 & - & 3x_2 & + & x_3 & = & 0... ...& 0 & \\ 2x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 0 &. \\ \end{array}$$

Cramerovo pravidlo nám umožňuje aj čiastočne odpovedať na otázku o riešiteľnosti sústav lineárnych rovníc s parametrami.

Príklad 5. Zistite, pre aké hodnoty parametra $s$ má sústava lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrr} sx_1 & + & 2x_2 & = & 2 \\ 3x_1 & + & 4x_2 & = & 3 \\ \end{array}$$

práve jedno riešenie a určte ho Cramerovým pravidlom.

Riešenie: Podľa Cramerovho pravidla bude mať táto sústava rovníc práve jedno riešenie pre tie $s$, pre ktoré platí

$${ { \left \vert \begin{array}{rr} s & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right \vert } = 4s - 6 \neq 0. }$$

Teda pre $s\ \in {\bf R}- \{ \frac{3}{2} \}$ má sústava práve jedno riešenie a platí preň:

$$r_1 = \frac{1}{2s-3} , r_2 = \frac{3(s-2)}{2(2s-3)}.$$

$\clubsuit$

Na záver ešte poznamenajme, že ak $D = 0$ a aspoň jeden z determinantov $D_1, D_2 , \ldots , D_n$ je rôzny od nuly, tak sústava (4.5) nemá riešenie.