Výsledky cvičení

1. a) áno, b) áno, c) áno, d) áno, e) áno.
2. a) áno, b) áno, c) nie , d) áno, e) nie, f) áno.
3. a) $y^{\prime} = -\frac{y}{x},\ \$ b) $y^\prime +\frac{y}{x} =2,$ c) $y^{\prime \prime}=0,$ d) $y^\prime - y=0.$
4. $m v^\prime =- k v^2,$ kde $m$ je hmotnosť, $v$ je rýchlosť a $k$ je konštanta úmernosti.
5. $y = x^2$.
6. $\frac{2\sqrt{h}}{k}$ ,kde $k$ je konštanta úmernosti.
7. a) rovnobežky s osou $y$, b) $y=- \frac{x}{c}, c\in \mathcal{R}-\{ 0 \}$, c) $y=cx$,
d) $y=\frac{c-2}{c} x , c \neq 0$,
e) kružnice so stredom v počiatku, f) $y= \cos x -c,\ c\in \mathcal{R}.$
8. $y= -\ln_{10}(c-10^x),\ c \in \mathcal{R}$
9. $y = (3x -3x^2 +3c)^{\frac{1}{3}},\ c \in \mathcal{R}$
10. $y = \frac{c-x}{1+cx}$
11. $y= \sqrt{ 1-(\frac32 - \sqrt{1-x^2})^2}$
12. $x^2(1+y^2)=c,\ c \in \mathcal{R}$
13. $y= -\ln (1-ce^x),\ 1-ce^x >0$
14. $y= -\ln (c-e^x),\ c-e^x >0$
15. $y= c e^{-x^{-2}}, c \in \mathcal{R}$
16. $y= \frac{2-ce^x}{1-ce^x}, 1-ce^x\neq 0$
17. $y= \sqrt{\ln (c(1+e^x))^2},\ c \in \mathcal{R}$
18. $y= c e^{\frac{1}{x}},\ c \in \mathcal{R}$
19. $y= \sin x +\frac{\cos x -1}{1+x}$
20. $2(x^3-y^3) + 3 (x^2-y^2)+5=0$
21. $y= \arcsin(\frac12 \sin x)$
22. $y=\ln ( e-1+e^x)$
23. $y=\frac{c}{\cos x},\ c \in \mathcal{R}$
24. $y= c e^{-x\cos x}, \ c \in \mathcal{R}$
25. $y= c e^{\frac{1}{x}},\ c \in \mathcal{R}$
26. $y=\frac{x}{3} -\frac19 + c e^{-3x},\ c \in \mathcal{R}$
27. $y=\frac{c-\ln \vert x\vert}{x},\ c \in \mathcal{R}$
28. $y= \frac{x^3}{4} + \frac{c}{x}, \ c \in \mathcal{R}$
29. $y= \frac{c}{x+1} + \frac{\sin x}{x+1} -\cos x ,\ c \in \mathcal{R}$
30. $y= c e^{-\mbox{arctg}\,x}+\mbox{arctg}\,x -1, \ c \in \mathcal{R}$
31. $y= 1+ c \cos^2 x, \ c \in \mathcal{R}$
32. $y= -\ln x +c(\ln x)^2, c \in \mathcal{R}$
33. $y= e^{x^2}+c e^{\frac{x^2}{2}},\ c \in \mathcal{R}$
34. $y= \sqrt{1-x^2}(\frac{(\arcsin x)^2}{2}-\sqrt{1-x^2}+c) \ c \in \mathcal{R}$
35. $y=x (\sin x +c), c \in \mathcal{R}$
36. $y =(\frac{x^2}{2}+c) e^{-x^2}, \ c \in \mathcal{R}$
37. $y=1$
38. $y=\frac12( \cos x + \sin x + e^{-x})$
39. $y=\frac{a(x-1)}{x^n}$
40. $y=\frac{x}{2\sin x} -\frac{\cos x}{2} + (1-\frac{\pi}{4})\frac{1}{\sin x}$
41. $y= e^{-\arcsin x} + \arcsin x -1$
42. $y=\frac{x^2 \ln x}{2}$
43. $y=-\cos x$
44. $y= c_1 e^{2x}+c_2 e^{-x}, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
45. $y =c_1 \cos 5x + c_2 \sin 5x, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
46. $y= c_1 + c_2 e^x, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
47. $y= c_1 e^{2x}+c_2 x e^{2x}, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
48. $y= c_1 e^{6x}+c_2 e^x, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
49. $y= c_1 e^{-2x}+c_2 e^x, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
50. $y= c_1 \cos x +c_2 \sin x, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
51. $y= c_1 e^{(1+\sqrt2)x}+c_2 e^{(1-\sqrt2)x}, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
52. $x= c_1 e^{\frac52 t} + c_2 t e^{\frac52 t}, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
53. $y= e^{2x}(c_1 \cos 3x + c_2 \sin 3x), \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
54. $y = x e^{5x}$
55. $y= -\frac13 e^x \cos 3x$
56. $y=\frac53 -\frac23 e^{-3x}$
57. $y= 4 \cos 2x - 3 \sin 2x$
58. $y= 4 e^{-2 \sqrt{3} x}$
59. $y= -9 \cos \frac43 x +9\frac38 \sin \frac43 x$
60. $y=\frac{5 \sin x + 7 \cos x}{74} + c_1 e^{6x} + c_2 e^x, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
61. $y= e^{-x}( c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x) -\frac{1}{2} \cos 2x- 2 \sin 2x, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
62. $y=e^x + c_1 e^{-x} + c_2 e^{\frac{x}{2}}, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
63. $y= \frac{e^x}{a^2+1} + c_1 \cos ax + c_2 \sin ax, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
64. $y=e^{3x}( c_1+ c_2 x) +\frac{2}{9} x^2 +\frac{5}{27} x +\frac{11}{27}, c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
65. $y= c_1 e^x + c_2 e^{-5x} -\frac15, c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
66. $y= c_1 e^{2x} +c_2x e^{2x} + \frac{e^{-x}}{9},c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
67. $y= c_1 e^{2x} +c_2x e^{2x} + \frac32 x^2 e^{2x},c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
68. $y= c_1 e^{2x} +c_2x e^{2x} + \frac {x}{2}+\frac12 +\frac14 \cos 2x,c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
69. $y= c_1 e^{2x} +c_2x e^{2x} + 2x^2 +4x+3 + 4x^2 e^{2x} + \cos 2x ,c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
70. $y= c_1 \cos x +c_2 \sin x + 2x^3 -13 x +2 ,c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
71. $y= c_1 \cos x +c_2 \sin x + \cos 3x ,c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
72. $y= c_1 \cos x +c_2 \sin x + \frac12 x \sin x ,c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
73. $y= c_1 \cos x +c_2 \sin x - \frac12 x \cos x- e^{-x} ,c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
74. $\theta (t) = 2 e^{-2t} -2 e^{-3t},\ \theta_{\max} = \theta(\ln \frac{3}{2}\ ) = \frac{8}{27}$
75. $y(t) = 27 +36 e^{-\frac{t}{6}}$, rýchlosť ochladzovania klesne pod $1$ stupeň asi za $11$ minút, teleso bude mať teplotu $33$ stupňov
76. $y(x) = 2 - 4 \sin 3x$, $y_{\min} =-2,\ y=0$ pre $x=\frac{\pi}{18} +\frac{2}{3}k \pi$ alebo $x= \frac{5\pi}{18} + \frac23 k\pi,\ k$ je celé.
77. a) $x(t) = 3 \cos 2t + 3 \sin 2t$,
b) $x(\frac{3\pi}{4}) =-3,\ x^\prime(\frac{3\pi}{4}) =6$ ,
c) $t \approx 1.178$
78. $y= c_1 + c_2 x+ c_3 e^x + c_4 x e^x \ ,c_1, c_2,c_3,c_4 \in \mathcal{R}$
79. $y= e^{a\frac{\sqrt2}{2}} (c_1\cos a \frac{\sqrt2}{2} + c_2 \sin a\frac{\sqrt2... ...c{\sqrt2}{2} + c_2 \sin a\frac{\sqrt2}{2})\\ c_1, c_2,c_3,c_4 \in \mathcal{R}$
80. $y= c_1 + c_2 e^x+ c_3x e^x \ ,c_1, c_2,c_3 \in \mathcal{R}$
81. $y= x^2 \ln \sqrt x+ c_1x^2 + c_2 x+ c_3 \ ,c_1, c_2,c_3 \in \mathcal{R}$
82. $y= -\frac18 \sin 2x + c_1x^2 + c_2 x+ c_3 \ ,c_1, c_2,c_3 \in \mathcal{R}$
83. $y=c_1 e^x+ c_2 e^{-x} + (e^x-e^{-x})\ln \vert e^x-1\vert-xe^x+e^{-x}-1,\ \ c_1,c_2 \in \mathcal{R}$
84. $y=c_1 e^x+ c_2 xe^{x} + x \ln \vert x\vert\ \ c_1,c_2 \in \mathcal{R}$
85. $y=e^{-x}(c_1 + c_2 x + \frac{x^2}{2})-1 \ \ c_1,c_2 \in \mathcal{R}$
86. a) $y_1(x) = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-3x},\\ y_2 = 2c_1 e^{3x} - 4 c_2 e^{-3x}, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
b) $y_1(x) = e^x (c_1 \cos 3x + c_2 \sin 3x) ,\\ y_2(x) = e^x( -c_1 \sin 3x + c_2 \cos 3x), \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
87. a) $y_1(x) = - \frac{e^x}{36} - \frac{11}{54} e^{2x} + c_1 e^{-7x} + c_2 e^{4x},\... ... -\frac{8}{27} e^{2x} - c_1 e^{-7x} + 2 c_2 e^{4x}, \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$
b) $y_1(x) = c_1 e^{2x} - 2 c_2 e^{-3x} - e^x(8x+6),\\ y_2(x) = 2 c_1 e^{2x} +c_2 e^{-3x} - e^x(12x+13), \ c_1, c_2 \in \mathcal{R}$