Odmocnina z kvadratickej funkcie

Ak máme integrovať funkciu, v ktorej sa okrem algebraických operácií vyskytuje odmocnina z kvadratickej funkcie $\sqrt{ax^2+bx+c}$, postupujeme nasledovne:

1. Doplnením na štvorec a algebraickými úpravami a substitúciou prevedieme daný výraz na niektorý z výrazov $\sqrt{r^2 - u^2}$, $\sqrt{r^2 + u^2}$ alebo $\sqrt{u^2 - r^2}$.
2. Použitím substitúcií

   
   
   $u = r\sin t$         pre     $\sqrt{r^2 - u^2}$ 
   
   
   $u = r\mbox{tg}\,t$ pre     $\sqrt{r^2 + u^2}$ 
   
   
   $u = \frac{r}{\cos t}$ pre     $\sqrt{u^2 - r^2}$
   

   prevedieme daný integrál na integrál z trigonometrickej funkcie.

-

Príklad 21. Vypočítame $\int \sqrt{4x^2 - 8x + 5}\,dx$.

Riešenie: Upravíme $\sqrt{4x^2 - 8x + 5} = \sqrt{(2x-2)^2 + 1}$ a zvolíme $u = 2x - 2$. Potom $du = 2\,dx$ a

$$I = \int \sqrt{4x^2 - 8x + 5}\,dx = \int \sqrt{u^2 + 1} \frac{du}{2}.$$

Použijeme substitúciu $u = \mbox{tg}\,t, \quad t \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ a počítame

$$I = \frac12 \int \sqrt{\mbox{tg}\,^2 t + 1}\frac{1}{\cos^2... ...2 t}}}{\cos^2 t}\,dt = \frac12 \int \frac{1}{\cos^3 t}\,dt.$$

Tento integrál sme už počítali v Príklade 0

$$I = \frac12 \int \frac{1}{\cos^3 t}\,dt = \frac18 \left(... ...\left\vert \frac{1+\sin t}{1-\sin t} \right\vert \right) + c.$$

Pre spätnú substitúciu potrebujeme vyjadriť $\sin t$ a $\cos t$ pomocou $u$. To spravíme umocnením substitučnej rovnice $u = \mbox{tg}\,t$, úpravou a vyjadrením

$$u^2 = \frac{\sin^2 x}{1 - \sin^2 x},\qquad \sin t = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}},\qquad \cos t = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}.$$

Po spätnej substitúcii dostávame

$$I = \frac18 \left( 2 u \sqrt{1+u^2} + \ln \left\vert \frac{\sqrt{1+u^2}+u}{\sqrt{1+u^2}-u} \right\vert \right) =$$

$$= \frac18 \left( 2 u \sqrt{1+u^2} + \ln (\sqrt{1+u^2}+u)^2 \right) + c.$$

Nakoniec prejdeme k premennej $x\ (u = 2x-2)$.

$$I = \frac12 (x-1) \sqrt{4x^2-8x+5} + \frac14 \ln (\sqrt{4x^2-8x+5}+2x-2) + c.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 22. Vypočítame integrál $\int \frac{(x-1)^2}{\sqrt{8+2x-x^2}}\,dx$.

Riešenie:

1. Upravíme $\sqrt{8+2x-x^2} = \sqrt{9 - (x-1)^2}$ a zvolíme $u = x-1$. Potom môžeme písať (Uvedomme si, že $du = dx$!)
   
   $$I = \int \frac{(x-1)^2}{\sqrt{8+2x-x^2}}\,dx = \int \frac{u^2}{\sqrt{9 -u^2}}\ du.$$
   
   

2. Použijeme substitúciu podľa návodu
   
   $$u = 3 \sin t,\quad t \in \( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\).$$
   
   
   Potom $du = 3 \cos t\,dt$ a
   
   $$\sqrt{9-u^2} = \sqrt{9 - 9 \sin^2 t} = \sqrt{9 \cos^2 t} = 3 \cos t.$$
   
   
   (Prečo nie $\sqrt{9-u^2} = -3\cos t$ ?) Dosadíme, v úprave použijeme trigonometrickú identitu $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ a integrujeme.
   
   $$I = \int \frac{9 \sin^2 t}{3 \cos t}\ 3 \cos t\,dt = 9 \int \sin^2 t\,dt = 9 \int \frac {1 - \cos 2 t}{2}\,dt =$$
   
   
   
   
   $$= \frac92 \left( t - \frac{\sin 2 t}{2} \right) = \frac92 ... ...in \frac{u}{3} - \frac{u}{3}\frac{\sqrt{9-u^2}}{3} \right) =$$
   
   
   
   
   $$= \frac92 \arcsin \left( \frac{x-1}{3} \right) - \frac{(x-1)}{2}\sqrt{8 + 2x - x^2} + c.$$
   
   

$\clubsuit$

Poznámka 5. Integrály obsahujúce odmocninu z kvadratickej funkcie je možné riešiť tiež inými typmi substitúcií ([E], [I], [K]). Niekedy je možné pri integrovaní tohoto typu funkcií použiť metódu per partes. -

Príklad 23. Vypočítame integrál $\int\sqrt{1+x^2}\,dx$.

Riešenie: Metódou per partes dostávame

$$I = \int\sqrt{1+x^2}\,dx = x \sqrt{1+x^2} - \int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx =$$

$$= x \sqrt{1+x^2} - \int \frac{1 + x^2 - 1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = x \sqrt{1+x^2} - I + \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Posledný integrál je jeden zo základných. Pričítaním hodnoty integrálu $I$ k obidvom stranám rovnice a vydelením dvomi dostávame

$$I = \frac12 \( x \sqrt{1+x^2} + \ln(x + \sqrt{1+x^2})\)+ c.$$

$\clubsuit$