Krivosť rovinnej krivky

Z úvodných poznámok o rovinnej krivke je zrejmé, že v tomto prí pade má zmysel hovoriť len o prvej krivosti (krátko krivosti) krivky $k$ v bode $P(t_0)$. Túto dôležitú charakteristiku krivky vyjadrenej rovnicami (5.42-5.44) a (5.48) vypočítame zo vzťahov

\begin{displaymath}{\mathcal K}^2={\displaystyle \frac{\vert {\bf\dot p} \times \ddot {\bf p}
\vert^2}{({\bf\dot p}.{\bf\dot p})^3}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\mathcal K}^2={\displaystyle \frac{(\dot x \ddot y-\ddot x \dot y)
^2}{(\dot x^2+\dot y^2)^3}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\mathcal K}^2={\displaystyle \frac{(\ddot y)^2}{(1+\dot y^2)^3}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\mathcal K}^2={\displaystyle \frac{(\varrho^2+2\varrho '^2-\varrho \varrho '')
^2}{(\varrho^2+\varrho '^2)^3}}\end{displaymath}

-


Príklad 23. Nájdime krivosť paraboly $y = x^2$ vo všeobecnom bode a v bodoch $P(0),
P(1), P(2)$.


Riešenie: Krivka je daná explicitne, využijeme teda tretí z uvedených vzorcov. K výpočtu potrebujeme prvú a druhú deriváciu podľa $x$

\begin{displaymath}
\dot y=2x, \qquad \ddot y=2.
\end{displaymath} (5.51)

Potom krivosť paraboly $y = x^2$ vo všeobecnom bode je

\begin{displaymath}{\mathcal K}^2(x)={\displaystyle \frac{2^2}{(1+(2x)^2)^3}=\frac{4}{(1+4x^2)^3}},\end{displaymath}

t.j.

\begin{displaymath}{\mathcal K}(x)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt {(1+4x^2)^3}}}\end{displaymath}

a v konkrétnych bodoch

\begin{displaymath}{\mathcal K}(0)=2,\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\mathcal K}(1)=2/\sqrt{5^3}=0,17888,\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\mathcal K}(2)=2/\sqrt{17^3}=0,02853.\end{displaymath}

$\clubsuit$ -


Príklad 24. Nájdime krivosť kružnice s polomerom $r$ v jej ľubovoľnom bode.


Riešenie: Parametrické rovnice kružnice sú

\begin{displaymath}x=r \cos t, \qquad y=r \sin t, \qquad t \in \langle 0,2\pi).\end{displaymath}

Pretože
$\dot x=-r \sin t,$ $\dot y=r \cos t, $
   
$\ddot x=-r \cos t,$ $\ddot y=-r \sin t, $
podľa druhého z uvedených vzorcov

\begin{displaymath}{\mathcal K}^2(t)={\displaystyle \frac{(r^2 \sin^2 t + r^2 \cos^2 t)
^2}{(r^2 \sin^2 t + r^2 \cos^2 t)^3}=\frac{1}{r^2}},\end{displaymath}

to znamená, že

\begin{displaymath}{\mathcal K}(t)={\displaystyle \frac{1}{r}}.\end{displaymath}

Krivosť kružnice je v každom jej bode rovnaká a je rovná prevrátenej hodnote jej polomeru. $\clubsuit$