Monotónnosť

Pomocou derivácie môžeme zistiť, v ktorých intervaloch funkcia rastie alebo klesá. Nasledujúce tvrdenie je založené na vete o strednej hodnote (skúste ho odvodiť!).

Ak $f'(x) > 0 \ (f'(x) < 0)$ platí pre každé $x \in (a,b)$, tak funkcia $f$ je rastúca (klesajúca) v intervale $(a,b)$.

Dôsledkom je tvrdenie užitočné pri dôkazoch nerovností medzi funkciami.

Nech funkcie $f$ a $g$ sú spojité v intervale $\langle a,b\rangle$ a $f(a) \leq g(a)$. Ak $f'(x) \leq g'(x)$ pre každé $x \in (a,b)$, tak aj $f(x) \leq g(x)$ pre každé $x \in (a,b)$.

Iným dôsledkom vety o strednej hodnote je tvrdenie

Ak $f'(x) = 0$ pre všetky $x \in (a,b)$, tak $f$ je konštantná funkcia v intervale $(a,b)$.

Príklad 28. Zistime intervaly, v ktorých rastú a intervaly, v ktorých klesajú funkcie $y = 51 + 36x + 6x^2 - x^3$, $y = 2x^2 - \ln\ x$, $y = x^2e^{-x}$.

Riešenie:

b )

Zistíme intervaly v ktorých je derivácia kladná (záporná). Najskôr si uvedomíme, že definičný obor funkcie je množina ${\bf R}$. Počítame deriváciu: $y' = 36 + 12x - 3x^2$. Pre určenie intervalov, v ktorých funkcia rastie riešime kvadratickú nerovnicu $36 + 12x - 3x^2 > 0$. Riešením je interval $(-2,6)$. Funkcia je rastúca v tomto intervale. Klesajúca je v intervaloch, ktoré sú riešením opačnej nerovnice $(-\infty,-2)$ a $(6,\infty)$.

c )

Definičným oborom funkcie je množina $D = (0,\infty)$. $y' = 4x - \frac{1}{x}$. Riešením nerovnice $4x - \frac{1}{x} > 0$ sú intervaly $(-\frac12,0)$ a $(\frac12,\infty)$. Riešením opačnej nerovnice sú intervaly $(-\infty,-\frac12)$ a $(0,\frac12)$. Vzhľadom na svoj definičný obor je funkcia rastúca v intervale $(\frac12,\infty)$ a klesajúca v intervale $(0,\frac12)$.

d )

Definičný obor funkcie je množina ${\bf R}$ a derivácia $y' = (2x - x^2)e^{-x}$. Pretože druhý činiteľ je kladný pre všetky $x \in {\bf R}$, znamienko derivácie závisí len od prvého člena. Preto je funkcia rastúca v intervale $(0,2)$ a klesajúca v intervaloch $(-\infty,0)$ a $(2,\infty)$.$\clubsuit$

Príklad 29. Ukážeme, že pre každé $x \in {\bf R}$ platí $x \geq 1 - e^{-x}$.

Riešenie: Nerovnosť ukážeme vtedy, ak sa presvedčíme, že $f(x)=x-1+e^{-x} \geq 0$ pre každé $x \in {\bf R}$. Určíme intervaly, v ktorých funkcia $f$ rastie a v ktorých klesá. $f$ klesá v $(-\infty,0)$ a rastie v $(0,\infty)$ (overte!). Z toho vyplýva, že funkcia $f$ nadobúda najmenšiu hodnotu v bode $0$. Preto pre všetky $x \in {\bf R}$ platí $f(x) \geq f(0) = 0$, čo sme chceli ukázať. $\clubsuit$

Príklad 30. Ukážeme, že pre každé $x < 0$ platí $arctg\ \frac{1}{x} = -arctg\ x - \frac{\pi}{2}$.

Riešenie: Podobne ako v predchádzajúcom príklade uvažujme o funkcii $f(x) = arctg\ \frac{1}{x} + arctg\ x + \frac{\pi}{2}$. Chceme ukázať, že $f$ je konštantná a rovná $0$ v intervale $(-\infty,0)$. Jej derivácia je

$$f'(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}. \left(-\frac{1}{x^2} \right) + \frac{1}{1 + x^2} = 0.$$

Preto funkcia $f$ je konštantná v celom intervale $(-\infty,0)$. Hodnotu tejto konštanty zistíme dosadením ľubovoľného bodu, vhodným je napríklad bod $x=-1$.

$$f(x) = f(-1) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = 0.\ \ \ \ \ \mbox{$\clubsuit$\\ \par }$$