Geometrický význam derivácie

Ak existuje derivácia funkcie $f$ v bode $x_0$, tak číslo $f'(x_0)$ je smernicou dotyčnice ku grafu funkcie $y=f(x)$ v bode $[x_0,f(x_0)]$ a číslo $-\frac{1}{f'(x_0)}$ je smernicou normály ku grafu funkcie $y=f(x)$ v bode $[x_0,f(x_0)]$.
Preto

$$y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$$

je rovnica dotyčnice ku grafu funkcie $f$ v bode $[x_0,f(x_0)]$
a

$$y = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) + f(x_0)$$

je rovnica normály ku grafu funkcie $f$ v bode $[x_0,f(x_0)]$.
Body, v ktorých funkcia má deriváciu, rozoznáme pri pohľade na jej graf tak, že graf je v nich "hladký", naopak v bodoch, kde derivácia neexistuje, je graf "špicatý", napríklad graf funkcie $y=\vert x\vert$ v bode $[0,0]$.

Príklad 16. Nájdime rovnice dotyčnice a normály ku

b )

grafu funkcie $y = \sin x$ v bode $[0,?]$,

c )

grafu funkcie $y = \mbox{arctg}\,2x$ v bode $[-\frac12,?]$,

d )

kružnici so stredom v bode $[0,0]$ a polomerom $1$ v bode $[\frac12,y]$, kde $y < 0$.

Riešenie:

b )

Druhá súradnica bodu ležiaceho na grafe funkcie $y = \sin x$, ktorej prvá súradnica je $0$ je určená hodnotou $\sin 0 = 0$. Derivácia funkcie $y = \sin x$ v bode $0$ je $\cos 0 = 1$. Preto rovnica dotyčnice je

$$y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) = 1.(x-0) + 0 = x,$$

čo je geometrickým vyjadrením faktu, že $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$. Rovnica normály je $y = -x$.

c )

Druhá súradnica bodu dotyku je $\mbox{arctg}\,2.(-\frac12) = -\frac{\pi}{4}$. Derivácia funkcie $y = \mbox{arctg}\,2x$ v bode $-\frac12$ je $\frac{2}{1+(-\frac12\cdot 2)^2} = 1$. Rovnica dotyčnice je

$$y = (x+\frac12) - \frac{\pi}{4} = x + \frac{2-\pi}{4}$$

a rovnica normály je

$$y = -(x+\frac 12) - \frac{\pi}{4} = - x - \frac{2+\pi}{4}.$$

d )

Určený bod má súradnice $[\frac12,-\frac{\sqrt{3}}{2}]$. Pre výpočet smernice dotyčnice použijeme riešenie príkladu 12:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = -\frac{\frac12}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Rovnica dotyčnice je

$$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - \frac12) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

a rovnica normály

$$y = -\sqrt{3}(x - \frac12) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} x.$$

Overte správnosť výpočtu tak, že vyjadríte príslušný oblúk kružnice parametricky a tiež pomocou explicitnej funkcie! $\clubsuit$

Príklad 17. Nájdime rovnice dotyčnice a normály ku grafu funkcie $y = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 5x + 4$ rovnobežné s priamkou $y = \frac{3 - x}{2}$.

Riešenie: Tentokrát nepoznáme bod dotyku, ale smernicu hľadanej priamky $k = -\frac12$. Hľadáme preto takú hodnotu $x_0$, v ktorej má funkcia deriváciu rovnú tejto smernici: $y'(x_0) = x_0^2 + 4x_0 + 5 = -\frac12$. Táto rovnica však nemá riešenie, preto graf nemá dotyčnicu rovnobežnú s danou priamkou. Pri normále hľadáme takú hodnotu $x_0$, pre ktorú platí $-\frac{1}{y'(x_0)} = -\frac12$, t.j. $y'(x_0) = x_0^2 + 4x_0 + 5 = 2$. Táto rovnica má dve riešenia $x_1 = -1$ a $x_2 = -3$. Hodnoty funkcie v týchto bodoch sú $y(-1) = \frac23$ a $y(-3) = -2$. Graf funkcie má dve normály rovnobežné s danou priamkou. Ich rovnice sú

$$y = -\frac12 x + \frac16\qquad \mbox{a} \qquad y = -\frac12 x - \frac72.$$

$\clubsuit$

Príklad 18. Nájdeme rovnicu dotyčnice ku krivke danej parametrickými rovnicami $x = \frac{1}{t} + t^2$ a $y = t^2 - t + 1$ v bode $[2,1]$.

Riešenie: Najskôr vypočítajme hodnotu parametra $t$ pre daný bod. Je ňou jedno z riešení kvadratickej rovnice $t^2 - t + 1 = 1$ (odôvodnite!), ktorej riešeniami sú dve čísla $t_1 = 0$ a $t_2 = 1$. Hodnota parametra $t_1 = 0$ je mimo definičného oboru funkcie $x(t)$, dosadením hodnoty $t_2 = 1$ dostaneme $x(1) = 2$. Preto hľadaná hodnota parametra je $t_2 = 1$. Potrebujeme smernicu dotyčnice, ktorú nájdeme pomocou vzťahu

$$k(t) = \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2t-1}{2t - \frac{1}{t^2}}.$$

Jej hodnota v danom bode je $k(1) = 1$. Hľadaná rovnica dotyčnice je

$$y = 1.(x-2) + 1 = x - 1.$$

$\clubsuit$