Derivácia zloženej funkcie

Ak poznáme derivácie zložiek, tak deriváciu zloženej funkcie môžeme vypočítať pomocou nasledujúceho pravidla:
Derivácia zloženej funkcie. Nech funkcia $y=f(x)$ má deriváciu v množine $M$ a funkcia $z=g(y)$ má deriváciu v obore hodnôt funkcie $f$. Potom aj zložená funkcia $g \circ f$ má v množine $M$ deriváciu a pre každé $ x\in M$ platí

\begin{displaymath}
(g(f(x)))' = g'(f(x)).f'(x),
\end{displaymath}

čo môžeme zapísať aj

\begin{displaymath}
\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}. \frac{dy}{dx}.
\end{displaymath}

Posledný vzťah sa volá reťazové pravidlo.

Príklad 5. Vypočítame derivácie funkcií $y = \sin 2x$, $y = \left( x + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{100}$,
$y = \arcsin \left( \frac{2x+3}{5-3x} \right)$, $y = 5^{\frac{4}{cotg\ x}}$.

Riešenie: V riešení budeme používať pravidlo o derivácii zloženej funkcie. Danú funkciu si najskôr rozložíme na zložky a potom postupujeme podľa pravidla od vonkajších zložiek ku vnútorným.

b )
Rozklad danej funkcie je

\begin{displaymath}
x\quad \stackrel{2x}{\longrightarrow}\quad 2x
\quad \stackrel{\sin}{\longrightarrow}\quad \sin 2x.
\end{displaymath}

Preto derivácia je

\begin{displaymath}
y'(x) = (\sin t)'_{[t=2x]}.(2x)' = 2\cos 2x.
\end{displaymath}

c )
Rozklad danej funkcie je

\begin{displaymath}
x\quad \stackrel{x+\frac{1}{\sqrt{x}}}{\longrightarrow}\quad...
...ngrightarrow}
\quad \left( x+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{100}
\end{displaymath}

a derivácia je

\begin{displaymath}
y'(x) = \left( (t)^{100} \right)'_{[t=x+\frac{1}{\sqrt{x}}]}...
...sqrt{x}} \right)^{99}
\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \right).
\end{displaymath}

d )
Rozklad danej funkcie je

\begin{displaymath}
x\quad \stackrel{\frac{2x+3}{5-3x}}{\longrightarrow}\quad
\...
...ongrightarrow}
\quad \arcsin \left( \frac{2x+3}{5-3x} \right)
\end{displaymath}

a derivácia je

\begin{displaymath}
y'(x) = (\arcsin t)'_{[t=\frac{2x+3}{5-3x}]}.
\left( \frac{2x+3}{5-3x} \right)' =
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
= \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{2x+3}{5-3x} \right)^2}}.
\frac{2(5-3x) - (2x+3)(-3)}{(5-3x)^2} =
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
= \frac{19}{(5-3x)\sqrt{5x^2-42x+16}}.
\end{displaymath}

e )
Rozklad danej funkcie je

\begin{displaymath}
x \quad \stackrel{cotg}{\longrightarrow} \quad
cotg\ x \qua...
...ackrel{5^{(\ )}}{\longrightarrow}
\quad 5^{\frac{4}{cotg\ x}}
\end{displaymath}

a derivácia je

\begin{displaymath}
y'(x) = (5^u)'_{[u=\frac{4}{cotg\ x}]}.
\left( \frac{4}{t} \right)'_{[t=cotg\ x]}.
(cotg\ x)' =
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
5^{\frac{4}{cotg\ x}}.\ln 5\ \frac{-4}{cotg^2\ x}.
\frac{-1}{\sin^2\ x} =
\frac{4\ln 5}{\cos^2\ x}\ 5^{\frac{4}{cotg\ x}}.
\end{displaymath}

$\clubsuit$

Príklad 6. Overíme platnosť vzťahu $(\cos x)' = -\sin x$ z časti 2.

Riešenie: V riešení použijeme deriváciu zloženej funkcie a goniometrické vzťahy

\begin{displaymath}
(\cos x)' = (\sin(x + \frac{\pi}{2}))' = \cos(x + \frac{\pi}{2}).1 =
-\sin x.
\end{displaymath}

$\clubsuit$

Príklad 7. Overíme platnosť vzťahu $(cotgh\ x)' = -\frac{1}{sinh^2\ x}$ z časti 2.

Riešenie:

\begin{displaymath}
(cotgh\ x)' =
\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \righ...
...\frac{(e^x - e^{-x})^2 - (e^x + e^{-x})^2}{(e^x - e^{-x})^2} =
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\frac{-4}{(e^x - e^{-x})^2} = \frac{1}{-\frac{(e^x - e^{-x})^2}{4}}
= -\frac{1}{sinh^2\ x}.
\end{displaymath}

$\clubsuit$