Príklady

Teraz uvedieme niekoľko typických príkladov výpočtu limít.

Príklad 19. Zistime existenciu limít funkcií $f: y=x+1$, $g: y=\frac{x^2-1}{x-1}$, $h: y = \frac{1}{\vert x-1\vert}$,
$i: y = \frac{1}{x-1}$ a $j: y=\frac{x-1}{\vert x-1\vert}$ v bode $1$.

Riešenie: $\lim_{x \rightarrow 1} x+1 = 2$, pretože ide o spojitú funkciu.
Funkciu $g$ upravíme na spojitú funkciu zhodnú s ňou mimo bodu $1$:

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} x+1 = 2$$

Zaveďme substitúciu $t = \vert x-1\vert$. Potom

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{\vert x-1\vert} = \lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{1}{t} = \infty.$$

Funkcia $i$ nemá v bode $1$ limitu, ale má nevlastné obidve jednostranné limity:

$$\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{1}{x-1} = \lim_{t \rightarrow 0^-} \frac{1}{t} = -\infty.$$

a

$$\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{1}{x-1} = \lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{1}{t} = \infty.$$

Podobne sa ukáže, že funkcia $j$ má v bode $1$ limitu zľava $-1$ a limitu sprava $1$. $\clubsuit$

Príklad 20. Ukážeme platnosť posledných dvoch vzťahov v časti 6.6.4.

Riešenie: Odporúčame čitateľovi určiť, ktoré pravidlá a limity v príslušných krokoch používame. Nech $P_k(x) = a_kx^k + a_{k-1}x^{k-1} + \ldots + a_1x + a_0$ a $Q_n(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0$ sú mnohočleny. Potom

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} a_kx^k + a_{k-1}x^{k-1} + \ldots + a_1x + a_0 =$$

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} x^k \left(a_k + \frac{a_{k-1}}{x} + \ldots + \frac{a_1}{x^{k-1}} + \frac{a_0}{x^k}\right)$$

Výsledok vyplýva z faktu, že limita výrazu v zátvorke je $a_k$ a použitia pravidiel pre nevlastné limity.

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac {a_kx^k + a_{k-1}x^{k-1}... ...a_1x + a_0} {b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0} =$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac {x^k(a_k + \frac{a_{k-1}... ...^{n-k-1} + \ldots + \frac{b_1}{x^{k-1}} + \frac{b_0}{x^k})} =$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac {a_k + \frac{a_{k-1}}{x}... ...n-1}}{x} + \ldots + \frac{b_1}{x^{n-1}} + \frac{b_0}{x^n})} =$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{n-k}}. \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a_k}{b_n} =$$

$$\frac{a_k}{b_n}.\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{n-k}}.$$

Výsledok vyplýva z toho, že posledná limita sa rovná $0,\ 1,\ \infty$ podľa toho, či $k<n$, $k=n$ alebo $k>n$. $\clubsuit$

Príklad 21. Zistime existenciu limít funkcií $f:\ y = \frac{8x^3}{x^6+3}$, $g:\ y = \frac{-2x^2+25x+111}{3x^2-4x}$, $h:\ y = \frac{11x^4+29x}{85-7x^3}$ a $i:\ y = \left(\frac{2x-5}{4-x}\right)^3$ v bodoch $\pm \infty$.

Riešenie:
Použijúc výsledky predchádzajúceho príkladu dostaneme

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0,\quad \lim_{x \righta... ... = -\frac23,\quad \lim_{x \rightarrow \infty} h(x) = -\infty.$$

Použijúc substitúciu $t = -x$ dostávame

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{t \rightarrow \i... ...(-t) = \lim_{t \rightarrow \infty} = \frac{-8t^3}{t^6+3} = 0,$$

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{-2t^2-25t+111}{3t^2+4t} = -\frac23$$

a

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} h(x) = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{11t^4-29t}{85+7t^3} = \infty.$$

Limitu funkcie $i$ vypočítame podľa poznámky v časti 6.6.2

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2x-5}{4-x} \right)^... ...\rightarrow \infty} \frac{2x-5}{4-x} \right)^3 = (-2)^3 = -8.$$

Podobným postupom dostaneme rovnakú limitu v bode $-\infty$. $\clubsuit$

Príklad 22. Vypočítajme $K = \lim_{x \rightarrow \infty}\arcsin \frac{2x-3}{7-4x}$, $L = \lim_{x \rightarrow 3} 5^{\frac{x-2}{3-x}}$ a $M = \lim_{x \rightarrow 0^+}x^x$.

Riešenie: Použitím poznámky v časti 6.6.2 dostaneme

$$K = \arcsin \left( \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x-3}{7-4x} \right) = \arcsin \left( -\frac12 \right) = -\frac{\pi}{6}.$$

Pri výpočte limity $L$ najskôr zavedieme substitúciu $t=\frac{x-5}{3-x}$ a uvedomíme si, že $\lim_{x \rightarrow 3^-}\frac{x-2}{3-x} = \infty$ a $\lim_{x \rightarrow 3^+}\frac{x-2}{3-x} = -\infty$ Preto limita $L$ neexistuje, ale existujú príslušné jednostranné limity

$$L^- = \lim_{x \rightarrow 3^-}5^{\frac{x-5}{3-x}} = \lim_{t \rightarrow \infty}5^t = \infty$$

a

$$L^+ = \lim_{x \rightarrow 3^+}5^{\frac{x-5}{3-x}} = \lim_{t \rightarrow -\infty}5^t = 0.$$

V prípadoch, keď je premenná $x$ v základe aj exponente funkcie (ako pri limite $M$), používame vzťah $x = a^{\log_a\ x}$ platný pre všetky $x > 0$ a vhodné $a$, najčastejšie používame hodnotu $a = e$.

$$M = \lim_{x \rightarrow 0^+}x^x = \lim_{x \rightarrow 0^+}e^{x\ln\ x} = e^{\lim_{x \rightarrow 0^+}x\ln\ x} = e^0 = 1.$$

$\clubsuit$

Príklad 23. Vypočítajme $L = \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{1}{x^2-1}-\frac{2}{x^4-1} \right)$.
Riešenie:

$$L = \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x^2-1}{x^4-1} \righ... ...im_{x \rightarrow 1} \left( \frac{1}{x^2+1} \right) = \frac12.$$

$\clubsuit$

Príklad 24. Vypočítajme $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{x}$.

Riešenie: $L = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{x}. \frac{\sqrt{x+5}+\sqr... ...frac{x+5-5}{x(\sqrt{x+5}+\sqrt{5})} =\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$. $\clubsuit$

Príklad 25. Vypočítajme $L=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\mbox{tg}\,3x}{\sin 7x}$.

Riešenie: $L = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{\cos 3x \sin 7x} = \lim_{x \rightarrow... ...tarrow 0}\frac{\sin 7x}{7x}}. \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos 3x} = \frac37$. $\clubsuit$

Príklad 26. Vypočítajme $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^{2x+1}-1}{x}$.

Riešenie: $L = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2^{2x+3}-8}{x} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{8.4^x-8}{x} = 8\lim_{x \rightarrow 0}\frac{4^x-1}{x} = 8 \ln 4$. $\clubsuit$

Príklad 27. Vypočítajme $L = \lim_{x \rightarrow \infty}x(\sqrt{x^2+9}-x)$.

Riešenie:

$$L = \lim_{x \rightarrow \infty}x(\sqrt{x^2+9}-x) = \lim_{x \r... ...infty}x(\sqrt{x^2+9}-x) \frac{\sqrt{x^2+9}+x}{\sqrt{x^2+9}+x} =$$

$$=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x(x^2+9-x^2)}{\sqrt{x^2+9}+... ...tarrow \infty}9\frac{x}{x(\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}+1)} = \frac92.$$

$\clubsuit$

Príklad 28. Vypočítajme $L = \lim_{x \rightarrow \infty}3^{-x} \cos\ 5x$ a
$K = \lim_{x \rightarrow -\infty}3^{-x} \cos\ 5x$.

Riešenie: Periodické funkcie nemajú limitu v nevlastných bodoch, preto v tomto príklade nemôžeme aplikovať pravidlá pre algebrické operácie. Limitu $L$ však môžeme vypočítať podľa pravidla 5 v časti 6.6.3, pretože

$$\lim_{x \rightarrow \infty}3^{-x} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{3^x} = 0$$

a funkcia $\cos\ 5x$ je ohraničená. Preto $L = 0$.
Na druhej strane

$$\lim_{x \rightarrow -\infty}3^{-x} = \lim_{t \rightarrow \infty}3^t = \infty.$$

Pretože funkcia $\cos\ 5x$ strieda znamienka, hodnota $3^{-x} \cos\ 5x$ pre $x \rightarrow \infty$ bude oscilovať, t.j. nadobúdať ľubovoľne veľké kladné a ľubovoľne malé záporné hodnoty. Preto limita $K$ neexistuje. $\clubsuit$

Nasledujúci príklad predstavuje dôležité tvrdenie.

Príklad 29. Každá algebrická rovnica nepárneho stupňa, t.j. rovnica

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 = 0,\quad n\ \mathrm{je\ nepárne}$$

má aspoň jedno reálne riešenie.
Riešenie: Podľa Príkladu 20 majú limity ľavej strany v bodoch $\pm \infty$ opačné znamienka (odôvodnite!). Podľa tvrdenia z časti 6.5.5 preto existuje riešenie tejto rovnice. Premyslite si, prečo tvrdenie neplatí aj pre párne čísla $n$. $\clubsuit$